В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол AMB.

### Решение задачи 15 1. В треугольнике $ABC$ отрезок $BM$ — медиана, значит, $M$ — середина стороны $AC$. Следовательно, $MC = AC / 2 = 216 / 2 = 108$. 2. Рассмотрим треугольник $BHC$. Он прямоугольный (так как $BH$ — высота). Мы знаем $HC = 54$ и $MC = 108$, при этом угол $\angle C = 40^\circ$. 3. В прямоугольном треугольнике $BHC$ катет $BH = HC \cdot \operatorname{tg}(40^\circ) = 54 \operatorname{tg}(40^\circ)$. 4. Теперь рассмотрим треугольник $BHM$. В нем $HM = MC - HC = 108 - 54 = 54$. 5. Мы видим, что в прямоугольном треугольнике $BHM$ катеты $BH = 54 \operatorname{tg}(40^\circ)$ и $HM = 54$. Нам нужно найти угол $\angle BMH$. 6. $\operatorname{tg}(\angle BMH) = \frac{BH}{HM} = \frac{54 \operatorname{tg}(40^\circ)}{54} = \operatorname{tg}(40^\circ)$. 7. Следовательно, $\angle BMH = 40^\circ$. 8. Угол $\angle AMB$ и $\angle BMH$ — смежные, но $M$ лежит на $AC$, поэтому $\angle AMB = 180^\circ - \angle BMH = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$. **Ответ: 140** ### Решение задачи 16 1. По теореме о пересекающихся хордах окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: $AP \cdot CP = BP \cdot DP$ 2. Подставим известные значения: $AP \cdot 6 = 15 \cdot 10$. 3. $6 \cdot AP = 150$. 4. $AP = 150 / 6 = 25$. **Ответ: 25**