Функция G(x) = ln|5x| является первообразной для функции g(x) = 1/x на промежутке x > 0. Используя основную теорему о первообразных, запишите общий вид неопределенного интеграла ∫ 1/x dx. Какой из следующих выводов является верным с учетом заданной первообразной G(x)?

Question

Вопрос:

Функция G(x) = ln|5x| является первообразной для функции g(x) = 1/x на промежутке x > 0. Используя основную теорему о первообразных, запишите общий вид неопределенного интеграла ∫ 1/x dx. Какой из следующих выводов является верным с учетом заданной первообразной G(x)?

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения задачи воспользуемся определением первообразной и основной теоремой о первообразных. 1. Дано: функция $G(x) = \ln|5x|$ является первообразной для функции $g(x) = \frac{1}{x}$. 2. Свойство логарифма: $G(x) = \ln|5x| = \ln(5) + \ln|x|$. 3. Согласно теореме, любая первообразная для функции $g(x)$ имеет вид $F(x) = G(x) + C$, где $C$ — произвольная константа. 4. Так как $G(x) = \ln|x| + \ln 5$, мы можем записать: $F(x) = \ln|x| + \ln 5 + C$. Так как $\ln 5$ — это константа, мы можем обозначить $C_1 = \ln 5 + C$. Тогда $F(x) = \ln|x| + C_1$. **Ответ:** Общий вид неопределенного интеграла: $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ Вывод: Если в вариантах ответа есть выражение, содержащее $\ln|x| + C$, то оно является верным, так как любая первообразная для $\frac{1}{x}$ отличается от $\ln|x|$ только на константу.

Ответ ассистента

Другие решения