Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение (6k - (2 - 3k)cos t) / (sin t - cos t) = 2 имеет хотя бы одно решение на отрезке [0; π/2].

Для решения уравнения $\frac{6k - (2 - 3k)\cos t}{\sin t - \cos t} = 2$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$, преобразуем его. 1. Область допустимых значений: $\sin t - \cos t \neq 0$, то есть $\sin t \neq \cos t$, значит $t \neq \frac{\pi}{4}$. 2. Умножим обе части на $(\sin t - \cos t)$: $6k - (2 - 3k)\cos t = 2(\sin t - \cos t)$ $6k - 2\cos t + 3k\cos t = 2\sin t - 2\cos t$ $6k + 3k\cos t = 2\sin t$ $3k(2 + \cos t) = 2\sin t$ $k = \frac{2\sin t}{3(2 + \cos t)}$ 3. Обозначим $f(t) = \frac{2\sin t}{3(2 + \cos t)}$. Нам нужно найти значения $k$, при которых уравнение $k = f(t)$ имеет хотя бы один корень на $[0; \frac{\pi}{2}]$, исключая точку $t = \frac{\pi}{4}$. 4. Исследуем функцию $f(t)$ на монотонность: $f'(t) = \frac{2}{3} \cdot \frac{\cos t(2 + \cos t) - \sin t(-\sin t)}{(2 + \cos t)^2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t}{(2 + \cos t)^2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2\cos t + 1}{(2 + \cos t)^2}$ На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ производная $f'(t) > 0$, значит функция возрастает. 5. Найдем значения функции на концах отрезка: $f(0) = \frac{2 \cdot 0}{3(2 + 1)} = 0$ $f(\frac{\pi}{2}) = \frac{2 \cdot 1}{3(2 + 0)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 6. Исключим точку $t = \frac{\pi}{4}$: $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{3(2 + \frac{\sqrt{2}}{2})} = \frac{\sqrt{2}}{3(2 + \frac{\sqrt{2}}{2})} = \frac{\sqrt{2}}{6 + \frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{12 + 3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3(4 + \sqrt{2})} \approx 0,165$ Уравнение имеет решение, если $k$ принадлежит множеству значений функции на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$, исключая точку $f(\frac{\pi}{4})$. **Ответ:** $[0; \frac{2\sqrt{2}}{12 + 3\sqrt{2}}) \cup (\frac{2\sqrt{2}}{12 + 3\sqrt{2}}; \frac{1}{3}]$