Для непрерывной случайной величины X, заданной плотностью f(x) = (1/2)*sin(x) на [0; π], чему равна дисперсия D(X)?

Для нахождения дисперсии $D(X)$ воспользуемся формулой: $D(X) = M(X^2) - (M(X))^2$ 1. Нам известно математическое ожидание $M(X) = \frac{\pi}{2}$, тогда $(M(X))^2 = \frac{\pi^2}{4}$. 2. Найдем начальный момент второго порядка $M(X^2)$: $M(X^2) = \int_{0}^{\pi} x^2 \cdot f(x) \, dx = \int_{0}^{\pi} x^2 \cdot \frac{1}{2} \sin(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} x^2 \sin(x) \, dx$ Для вычисления интеграла $\int x^2 \sin(x) \, dx$ применим интегрирование по частям дважды (формула $\int u \, dv = uv - \int v \, du$): Пусть $u = x^2$, $dv = \sin(x) \, dx$, тогда $du = 2x \, dx$, $v = -\cos(x)$. $\int x^2 \sin(x) \, dx = -x^2 \cos(x) - \int -\cos(x) \cdot 2x \, dx = -x^2 \cos(x) + 2 \int x \cos(x) \, dx$ Теперь вычислим $\int x \cos(x) \, dx$: Пусть $u = x$, $dv = \cos(x) \, dx$, тогда $du = dx$, $v = \sin(x)$. $\int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) - \int \sin(x) \, dx = x \sin(x) + \cos(x)$ Собираем всё вместе: $\int x^2 \sin(x) \, dx = -x^2 \cos(x) + 2(x \sin(x) + \cos(x)) = -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x)$ Вычисляем определенный интеграл от $0$ до $\pi$: $[(-x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x))]_{0}^{\pi} = (-\pi^2 \cos(\pi) + 2\pi \sin(\pi) + 2 \cos(\pi)) - (-0^2 \cos(0) + 2(0) \sin(0) + 2 \cos(0))$ $= (-\pi^2 \cdot (-1) + 2\pi \cdot 0 + 2 \cdot (-1)) - (0 + 0 + 2 \cdot 1) = \pi^2 - 2 - 2 = \pi^2 - 4$ Тогда $M(X^2) = \frac{1}{2} \cdot (\pi^2 - 4) = \frac{\pi^2}{2} - 2$. 3. Находим дисперсию: $D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = (\frac{\pi^2}{2} - 2) - \frac{\pi^2}{4} = \frac{2\pi^2 - \pi^2}{4} - 2 = \frac{\pi^2}{4} - 2$ Это соответствует варианту **b**. **Ответ: b**