Найти значения определенных интегралов

Привет! Давай решим эти определенные интегралы. Используем метод интегрирования по частям и метод замены переменной. ### 1. Вычисление интеграла $\int_{0}^{\ln 2} xe^{-x} dx$ Воспользуемся формулой интегрирования по частям: $\int u dv = uv - \int v du$. Пусть $u = x$, тогда $du = dx$. Пусть $dv = e^{-x} dx$, тогда $v = -e^{-x}$. Тогда: $\int xe^{-x} dx = -xe^{-x} - \int (-e^{-x}) dx = -xe^{-x} - e^{-x} = -e^{-x}(x + 1)$. Подставим пределы интегрирования от $0$ до $\ln 2$: $[-e^{-x}(x + 1)]_{0}^{\ln 2} = (-e^{-\ln 2}(\ln 2 + 1)) - (-e^{0}(0 + 1))$ Так как $e^{-\ln 2} = e^{\ln(1/2)} = 0,5$: $= (-0,5(\ln 2 + 1)) - (-1(1)) = -0,5\ln 2 - 0,5 + 1 = 0,5 - 0,5\ln 2 = \frac{1 - \ln 2}{2}$. ### 2. Вычисление интеграла $\int_{-1}^{1} \frac{x dx}{\sqrt{5 - 4x}}$ Сделаем замену переменной: $t = 5 - 4x$. Тогда $dt = -4 dx$, откуда $dx = -\frac{dt}{4}$. Выразим $x$ через $t$: $4x = 5 - t$, значит $x = \frac{5 - t}{4}$. Определим новые пределы интегрирования: Если $x = -1$, то $t = 5 - 4(-1) = 9$. Если $x = 1$, то $t = 5 - 4(1) = 1$. Подставим в интеграл: $\int_{9}^{1} \frac{\frac{5-t}{4}}{\sqrt{t}} \cdot \left(-\frac{dt}{4}\right) = \frac{1}{16} \int_{1}^{9} \frac{5-t}{\sqrt{t}} dt = \frac{1}{16} \int_{1}^{9} (5t^{-1/2} - t^{1/2}) dt$ Вычисляем интеграл: $= \frac{1}{16} [5 \cdot 2t^{1/2} - \frac{2}{3}t^{3/2}]_{1}^{9} = \frac{1}{16} [10\sqrt{t} - \frac{2}{3}t\sqrt{t}]_{1}^{9}$ $= \frac{1}{16} \left( (10 \cdot 3 - \frac{2}{3} \cdot 9 \cdot 3) - (10 \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1) \right)$ $= \frac{1}{16} \left( (30 - 18) - (10 - \frac{2}{3}) \right) = \frac{1}{16} \left( 12 - 9\frac{1}{3} \right) = \frac{1}{16} \cdot \frac{8}{3} = \frac{1}{6}$. **Ответ:** 1) $\frac{1 - \ln 2}{2}$ 2) $\frac{1}{6}$