При каком условии на функцию α(x) справедливо равенство lim_{x → x0} ( (sin(α(x))) / (e^{α(x)} - 1) )?

Question

Вопрос:

При каком условии на функцию α(x) справедливо равенство lim_{x → x0} ( (sin(α(x))) / (e^{α(x)} - 1) )?

$При каком условии на функцию α(x) справедливо равенство lim_{x → x0} ( (sin(α(x))) / (e^{α(x)} - 1) )?$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения этого предела вспомним первый замечательный предел и эквивалентные бесконечно малые функции: 1. $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$ 2. $\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$ Нам нужно найти условие, при котором: $\lim_{x \to x_0} \frac{\sin(\alpha(x))}{e^{\alpha(x)} - 1} = 1$ Если мы разделим числитель и знаменатель на $\alpha(x)$, получим: $\lim_{x \to x_0} \frac{\frac{\sin(\alpha(x))}{\alpha(x)}}{\frac{e^{\alpha(x)} - 1}{\alpha(x)}} = \frac{\lim_{x \to x_0} \frac{\sin(\alpha(x))}{\alpha(x)}}{\lim_{x \to x_0} \frac{e^{\alpha(x)} - 1}{\alpha(x)}}$ Чтобы каждый из пределов был равен 1, необходимо, чтобы аргумент $\alpha(x)$ стремился к $0$ при $x \to x_0$. Следовательно, верный вариант — **c. При условии, что $\alpha(x) \to 0$ при $x \to x_0$.**

При каком условии на функцию α(x) справедливо равенство lim_{x → x0} ( (sin(α(x))) / (e^{α(x)} - 1) )?

Ответ ассистента

Другие решения