Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,6 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,1 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошел за первые 7 секунд движения?

### Задача 14 Поезд движется так, что каждый следующий отрезок пути на $0,1$ м больше предыдущего. Это арифметическая прогрессия, где: - $a_1 = 0,6$ (путь в первую секунду); - $d = 0,1$ (разность прогрессии); - $n = 7$ (количество секунд). Нужно найти сумму первых $7$ членов прогрессии $S_7 = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$. $S_7 = \frac{2 \cdot 0,6 + 0,1 \cdot (7-1)}{2} \cdot 7 = \frac{1,2 + 0,6}{2} \cdot 7 = \frac{1,8}{2} \cdot 7 = 0,9 \cdot 7 = 6,3$. **Ответ: 6,3** ### Задача 15 В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C=90^\circ$): - $AC = 75$ (катет); - $CH = 9\sqrt{69}$ (высота к гипотенузе). Нам нужно найти $\sin \angle ABC$. В прямоугольном треугольнике $CHB$ (где $\angle H = 90^\circ$): $\sin \angle ABC = \frac{CH}{CB}$. Сначала найдем $BC$ из треугольника $ABC$. По теореме Пифагора $AB^2 = AC^2 + BC^2$. Также $CH^2 = AH \cdot HB$. Пусть $BC = x$, тогда $AB = \sqrt{75^2 + x^2}$. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$, значит $AC \cdot BC = AB \cdot CH$. $75 \cdot x = \sqrt{75^2 + x^2} \cdot 9\sqrt{69}$. Возведем в квадрат: $5625 x^2 = (5625 + x^2) \cdot 81 \cdot 69$ $5625 x^2 = (5625 + x^2) \cdot 5589$ $5625 x^2 = 31438125 + 5589 x^2$ $36 x^2 = 31438125$ $x^2 = 873281,25$ $x = \sqrt{873281,25} \approx 934,5$. Так как $\sin \angle ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{75}{\sqrt{75^2 + x^2}} = \frac{75}{\sqrt{5625 + 873281,25}} = \frac{75}{\sqrt{878906,25}} = \frac{75}{937,5} = 0,08$. **Ответ: 0,08** ### Задача 16 Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Точка $O$ — середина стороны $CD$, значит $CO = OD = a/2$. Радиус окружности $R = 5$, она проходит через $A$. Координаты: - Пусть $D$ в $(0,0)$, тогда $C(a, 0)$, $O(a/2, 0)$, $A(0, a)$. - Расстояние от $O(a/2, 0)$ до $A(0, a)$ равно радиусу $R=5$. - $R^2 = (0 - a/2)^2 + (a - 0)^2 = 25$. - $\frac{a^2}{4} + a^2 = 25 \Rightarrow \frac{5a^2}{4} = 25 \Rightarrow a^2 = 20$. Площадь квадрата равна $a^2 = 20$. **Ответ: 20**