4.262. В треугольнике ABC известны длины его сторон: AB = 4; BC = 5; CA = 6. Отрезок KL с концами на сторонах AB и AC касается вписанной в треугольник окружности. Требуется вычислить периметр треугольника AKL.

Question

Вопрос:

4.262. В треугольнике ABC известны длины его сторон: AB = 4; BC = 5; CA = 6. Отрезок KL с концами на сторонах AB и AC касается вписанной в треугольник окружности. Требуется вычислить периметр треугольника AKL.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения задачи воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных к вписанной окружности. 1. Пусть $p$ — полупериметр треугольника $ABC$: $p = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{4 + 5 + 6}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$. 2. Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами $AB$, $BC$ и $CA$ как $M$, $N$ и $P$ соответственно. Длина отрезка от вершины до точки касания вычисляется по формуле: $AM = p - BC = 7,5 - 5 = 2,5$. Аналогично, $AP = p - BC = 2,5$. 3. Известно свойство: если прямая $KL$ (касательная к вписанной окружности) отсекает треугольник $AKL$, то периметр этого треугольника равен сумме длин отрезков касательных, проведенных из вершины $A$ к вписанной окружности, умноженной на 2. Формула периметра треугольника $AKL$ (где $K \in AB$, $L \in AC$): $P_{AKL} = 2 \cdot AM = 2 \cdot (p - BC) = 2 \cdot 2,5 = 5$. **Ответ: 5.**

Ответ ассистента

Другие решения