БИЛЕТ №16 Блок А 1. Вычислите: 2 cos п/4 * 3 ctg п/4 * sin п/4

### Блок А **1. Вычислите:** $2 \cos \frac{\pi}{4} \cdot 3 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} \cdot \sin \frac{\pi}{4}$ Зная, что $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 1$, $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставим: $2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 3 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \cdot \frac{2}{2} = 3$ **Ответ: 3** **2. Упростите выражение:** $\frac{27^{0,4} \cdot 9^{1,2} \cdot 3^{0,1}}{81^{0,5} \cdot 243^{0,2}}$ Приведем всё к основанию 3: $27^{0,4} = (3^3)^{0,4} = 3^{1,2}$ $9^{1,2} = (3^2)^{1,2} = 3^{2,4}$ $81^{0,5} = (3^4)^{0,5} = 3^2$ $243^{0,2} = (3^5)^{0,2} = 3^1$ Получаем: $\frac{3^{1,2} \cdot 3^{2,4} \cdot 3^{0,1}}{3^2 \cdot 3^1} = \frac{3^{3,7}}{3^3} = 3^{0,7}$ **Ответ: $3^{0,7}$** **3. Вычислите:** $\log_2 3 + \log_2 \frac{32}{3}$ Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$: $\log_2 (3 \cdot \frac{32}{3}) = \log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$ **Ответ: 5** **4. Вычислите:** $\frac{\sqrt[5]{11} \cdot \sqrt[2]{11}}{\sqrt[10]{11} \cdot \sqrt[3]{11}}$ Запишем в степенном виде: $\frac{11^{1/5} \cdot 11^{1/2}}{11^{1/10} \cdot 11^{1/3}} = 11^{(1/5 + 1/2) - (1/10 + 1/3)} = 11^{(2/10 + 5/10) - (3/30 + 10/30)} = 11^{7/10 - 13/30} = 11^{21/30 - 13/30} = 11^{8/30} = 11^{4/15} = \sqrt[15]{11^4}$ **Ответ: $\sqrt[15]{11^4}$** **5. Решите показательное уравнение:** $(\frac{2}{3})^{x-2} = (\frac{9}{4})^{x+1}$ $\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2 = ((\frac{2}{3})^{-1})^2 = (\frac{2}{3})^{-2}$ $(\frac{2}{3})^{x-2} = ((\frac{2}{3})^{-2})^{x+1}$ $x - 2 = -2(x + 1)$ $x - 2 = -2x - 2$ $3x = 0 \Rightarrow x = 0$ **Ответ: 0** **7. Решите тригонометрическое уравнение:** $\cos 2x = 0$ $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$** **8. Решите неравенство:** $(\frac{1}{7})^{3x+2} \geq (\frac{1}{7})^{x-4}$ Так как основание $0 < \frac{1}{7} < 1$, знак неравенства меняется на противоположный: $3x + 2 \leq x - 4$ $2x \leq -6$ $x \leq -3$ **Ответ: $(-\infty; -3]$** ### Блок Б **1. Решите тригонометрическое уравнение:** $\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{7}}{4}$ Пусть $t = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{12}$. Тогда $\sin t = \frac{\sqrt{7}}{4}$. $t_1 = \arcsin \frac{\sqrt{7}}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ $t_2 = \pi - \arcsin \frac{\sqrt{7}}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ Возвращаемся к $x$: $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12} = \arcsin \frac{\sqrt{7}}{4} + 2\pi n$ $\frac{x}{2} = \arcsin \frac{\sqrt{7}}{4} - \frac{\pi}{12} + 2\pi n$ $x = 2\arcsin \frac{\sqrt{7}}{4} - \frac{\pi}{6} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$ Аналогично для второго случая: $x = 2\pi - 2\arcsin \frac{\sqrt{7}}{4} - \frac{\pi}{6} + 4\pi n = \frac{11\pi}{6} - 2\arcsin \frac{\sqrt{7}}{4} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $2\arcsin \frac{\sqrt{7}}{4} - \frac{\pi}{6} + 4\pi n; \quad \frac{11\pi}{6} - 2\arcsin \frac{\sqrt{7}}{4} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$** **2. Решите показательное уравнение:** $2^{x+1} - 5 \cdot 2^x + 2 = 0$ $2 \cdot 2^x - 5 \cdot 2^x + 2 = 0$ $-3 \cdot 2^x + 2 = 0$ $2^x = \frac{2}{3}$ $x = \log_2 \frac{2}{3} = \log_2 2 - \log_2 3 = 1 - \log_2 3$ **Ответ: $1 - \log_2 3$**