Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что четырёхугольник A1B1C1D1, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, — параллелограмм.

Для доказательства воспользуемся свойством параллелограмма и признаком параллелограмма. ### Доказательство: 1. Пусть $ABCD$ — параллелограмм, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По свойству параллелограмма, точка $O$ делит диагонали пополам: $AO = OC$ и $BO = OD$. 2. По условию, вершины четырёхугольника $A_1B_1C_1D_1$ — середины отрезков $OA, OB, OC, OD$ соответственно. 3. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $A_1B_1$ соединяет середины сторон $OA$ и $OB$ (если рассматривать треугольник $OAB$), однако правильнее рассмотреть треугольник $OAB$ и треугольник $OCD$. 4. В $\triangle OAB$: $A_1$ — середина $OA$, $B_1$ — середина $OB$. Значит, $A_1B_1$ — средняя линия $\triangle OAB$, следовательно, $A_1B_1 \parallel AB$ и $A_1B_1 = \frac{1}{2}AB$. 5. Аналогично, в $\triangle OCD$: $C_1$ — середина $OC$, $D_1$ — середина $OD$. Значит, $C_1D_1$ — средняя линия $\triangle OCD$, следовательно, $C_1D_1 \parallel CD$ и $C_1D_1 = \frac{1}{2}CD$. 6. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB \parallel CD$ и $AB = CD$. 7. Из пунктов 4, 5 и 6 следует, что $A_1B_1 parallel C_1D_1$ (так как оба параллельны $AB$ и $CD$) и $A_1B_1 = C_1D_1 = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD$. 8. Так как в четырёхугольнике $A_1B_1C_1D_1$ противоположные стороны $A_1B_1$ и $C_1D_1$ параллельны и равны, то по признаку параллелограмма, $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм. **Что и требовалось доказать.**