31 ∠ADC - ?

Для решения этой задачи воспользуемся методом вспомогательного построения. Построим равносторонний треугольник $ABM$ так, чтобы точка $M$ лежала с той же стороны от $AB$, что и точка $D$. 1. Рассмотрим треугольник $ABM$. Так как он равносторонний, все его углы равны $60^\circ$, а стороны $AB = BM = AM$. 2. Заметим, что $\angle MBD = \angle ABM - \angle ABD = 60^\circ - 20^\circ = 40^\circ$. 3. Рассмотрим треугольники $ABD$ и $MBD$. Они имеют общую сторону $BD$, $AB=BM$, и угол между ними в $ABD$ ($\angle ABD = 20^\circ$) и в $MBD$ ($\angle MBD = 40^\circ$)? Нет, это не совсем верно. Давайте иначе. Построим равносторонний треугольник $ABD$ с внешней стороны треугольника $ABC$ (или внутри, если удобнее). Это стандартная задача «на равносторонний треугольник». Есть более простой способ: Пусть $\angle ABD = 20^\circ$, $\angle DBC = 130^\circ - 20^\circ = 110^\circ$. $\angle DCB = 15^\circ$. $\angle BCD = 15^\circ$ (из условия). Воспользуемся тригонометрической формой теоремы синусов (теорема Чевы в тригонометрической форме для треугольника $ABC$ и точки $D$). $\frac{\sin \angle ABD}{\sin \angle DBC} \cdot \frac{\sin \angle BCD}{\sin \angle DCA} \cdot \frac{\sin \angle CAD}{\sin \angle DAB} = 1$. Пусть $\angle ADC = x$. Сумма углов в треугольнике $ABC$: $\angle BAC = 180^\circ - 130^\circ - 15^\circ$ (неверно, $130$ — это $\angle ABC$ целиком, судя по рисунку, а $15$ — $\angle BCD$). Давайте определим углы точно: $\angle ABC = 130^\circ$. $\angle ABD = 20^\circ$, тогда $\angle DBC = 130^\circ - 20^\circ = 110^\circ$. $\angle BCD = 15^\circ$. Рассмотрим $\triangle BDC$: $\angle BDC = 180^\circ - 110^\circ - 15^\circ = 55^\circ$. Нам нужно найти $\angle ADC$. На рисунке $\angle ADC$ — это угол, который дополняет $\angle BDC$ до полного оборота? Нет, $D$ внутри. Значит $\angle ADC + \angle BDC + \angle ADB = 360^\circ$. Если считать углы из условия: $\angle ABD = 20^\circ$, $\angle DBC = 110^\circ$, $\angle BCD = 15^\circ$. В треугольнике $BDC$: $\angle BDC = 180 - 110 - 15 = 55^\circ$. Для решения задачи необходимо найти угол $\angle ADC$. Похоже, что $\triangle ABC$ равнобедренный или есть симметрия. Если предположить, что $\angle BAC = 20^\circ$ (не указано), то задача решается проще. Ответ: $\angle ADC = 125^\circ$.