Точка O — центр окружности, на которой лежат точки P, Q и R таким образом, что OPQR — ромб. Найдите угол ORQ. Ответ дайте в градусах.

### Задача 9 Точки $P$, $Q$ и $R$ лежат на окружности с центром $O$, значит, отрезки $OP$, $OQ$ и $OR$ — радиусы окружности, и $OP = OQ = OR$. По условию $OPQR$ — ромб, следовательно, все его стороны равны: $OP = PQ = QR = RO$. Получаем, что $\triangle OQR$ — равносторонний (так как $OQ = OR = QR$). В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Значит, $\angle ORQ = \angle OQR = \angle ROQ = 60^\circ$. Ответ: 60 ### Задача 10 Пусть $h$ — высота параллелограмма, опущенная на сторону $CD$. Площадь $S_{ABCD} = CD \cdot h = 56$. Трапеция $AECB$ имеет основания $EC$ и $AB$. $E$ — середина $CD$, значит $EC = \frac{1}{2} CD$. Также $AB = CD$ (свойства параллелограмма). Высота трапеции равна $h$. Площадь $S_{AECB} = \frac{EC + AB}{2} \cdot h = \frac{0,5CD + CD}{2} \cdot h = \frac{1,5CD \cdot h}{2} = 0,75 \cdot (CD \cdot h) = 0,75 \cdot 56 = 42$. Ответ: 42 ### Задача 11 Додекаэдр — это выпуклый многогранник, у которого 20 вершин и 30 ребер. По теореме Эйлера, чтобы начертить граф (пройти по всем ребрам) без отрыва карандаша, количество вершин нечетной степени (из которых выходит нечетное число ребер) должно быть равно 0 или 2. У додекаэдра в каждой вершине сходится 3 ребра. Значит, все 20 вершин имеют степень 3 (нечетную). Чтобы граф стал эйлеровым (можно пройти без повторов), нужно добавить ребра. Чтобы пройти граф, у которого $2n$ нечетных вершин, нужно повторить минимум $n-1$ ребер. Здесь $n=20/2 = 10$. Минимальное количество повторов ребер: $10 - 1 = 9$. Ответ: 9 ### Задача 12 Разберем утверждения: 1) Окружность имеет только один центр симметрии — центр окружности. Неверно. 2) Прямая имеет бесконечно много осей симметрии (сама прямая и все перпендикулярные ей прямые). Неверно. 3) У правильного пятиугольника 5 осей симметрии (каждая проходит через вершину и середину противоположной стороны). Верно. 4) Квадрат имеет центр симметрии — точку пересечения диагоналей. Неверно. Ответ: 3