Контрольная работа по математике для студентов 1 курса Вариант № 8 Задание № 1 Упростить выражение

Привет! Давай разберем твою контрольную работу. Решаю задания по порядку. **Задание № 1. Упростить выражение** $$\frac{3\cos(\pi - \beta) + \sin(\frac{\pi}{2} + \beta)}{\cos(\pi + \beta)}$$ Используем формулы приведения: 1. $\cos(\pi - \beta) = -\cos\beta$ 2. $\sin(\frac{\pi}{2} + \beta) = \cos\beta$ 3. $\cos(\pi + \beta) = -\cos\beta$ Подставляем: $$\frac{3(-\cos\beta) + \cos\beta}{-\cos\beta} = \frac{-3\cos\beta + \cos\beta}{-\cos\beta} = \frac{-2\cos\beta}{-\cos\beta} = 2$$ **Ответ: 2** **Задание № 2. Решить уравнение** $$\sin 3x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Решаем как стандартное уравнение $\sin t = a$: $$3x = (-1)^k \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$3x = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k$$ $$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$$ **Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$** **Задание № 3. Вычислить** $$\log_3 2,25 + \log_3 4 = \log_3 (2,25 \cdot 4) = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$$ **Ответ: 2** **Задание № 4. Решить уравнение** $$2^{x-1} + 2^{x+2} = 36$$ Вынесем $2^{x-1}$ за скобки: $$2^{x-1}(1 + 2^3) = 36$$ $$2^{x-1}(1 + 8) = 36$$ $$2^{x-1} \cdot 9 = 36$$ $$2^{x-1} = 4$$ $$2^{x-1} = 2^2 \Rightarrow x-1 = 2 \Rightarrow x = 3$$ **Ответ: 3** **Задание № 5. Решить уравнение** $$\log_8 (x+4) = \log_8 (2x-6)$$ Так как основания равны, приравниваем аргументы: $$x + 4 = 2x - 6$$ $$4 + 6 = 2x - x \Rightarrow x = 10$$ Проверка (ОДЗ: $x+4>0$ и $2x-6>0$): $10+4=14 > 0$ (верно), $20-6=14>0$ (верно). **Ответ: 10** **Задание № 6. Найти производную функции** $$y = (5x - 7) \cdot x^3 = 5x^4 - 7x^3$$ $$y' = (5x^4)' - (7x^3)' = 20x^3 - 21x^2$$ **Ответ: $20x^3 - 21x^2$** **Задание № 7. Найти точки экстремума функции ($max$)** $$y = 5 + 9x - \frac{x^3}{3}$$ 1. Найдем производную: $y' = 9 - x^2$ 2. Приравняем к нулю: $9 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ 3. Метод интервалов: при $x < -3$ (например, -4), $y' < 0$ (убывает). При $-3 < x < 3$ (например, 0), $y' > 0$ (возрастает). При $x > 3$ (например, 4), $y' < 0$ (убывает). Точка максимума ($max$) — это точка смены знака с "+" на "-", то есть $x = 3$. **Ответ: 3** **Задание № 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции** $$y = 9x^2 - x^3, \text{ на } [-1; 5]$$ 1. Производная: $y' = 18x - 3x^2 = 3x(6-x)$ 2. Критические точки: $x_1 = 0, x_2 = 6$. В отрезок $[-1; 5]$ попадает только $x=0$. 3. Считаем значения в точках $-1, 0, 5$: $y(-1) = 9(-1)^2 - (-1)^3 = 9 + 1 = 10$ $y(0) = 0 - 0 = 0$ $y(5) = 9(25) - 125 = 225 - 125 = 100$ Наибольшее (max) = 100, наименьшее (min) = 0. **Ответ: max = 100, min = 0**