4\sqrt{3} \cos^3 x = \cos(2x + \frac{\pi}{2})

Дано уравнение: $4\sqrt{3} \cos^3 x = \cos(2x + \frac{\pi}{2})$. 1. Применим формулу приведения $\cos(2x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(2x)$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$: $4\sqrt{3} \cos^3 x = -\sin(2x)$ $4\sqrt{3} \cos^3 x = -2\sin x \cos x$ 2. Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель $2\cos x$: $4\sqrt{3} \cos^3 x + 2\sin x \cos x = 0$ $2\cos x (2\sqrt{3} \cos^2 x + \sin x) = 0$ 3. Решим уравнение по частям: 1) $2\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2) $2\sqrt{3} \cos^2 x + \sin x = 0$. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $2\sqrt{3}(1 - \sin^2 x) + \sin x = 0$ $2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \sin^2 x + \sin x = 0$ $2\sqrt{3} \sin^2 x - \sin x - 2\sqrt{3} = 0$ Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$: $2\sqrt{3} t^2 - t - 2\sqrt{3} = 0$ $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot (-2\sqrt{3}) = 1 + 16 \cdot 3 = 49$ $t_1 = \frac{1 + 7}{4\sqrt{3}} = \frac{8}{4\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} > 1$ (корней нет) $t_2 = \frac{1 - 7}{4\sqrt{3}} = \frac{-6}{4\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ $x = (-1)^n \cdot (-\frac{\pi}{3}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. **Ответ:** $x = \frac{\pi}{2} + \pi k; x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.