18. Найти угол между векторами a {1; -7; 13 } и b {5; 1; 1 }

### Решение задания 18 Угол $\varphi$ между векторами $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ находится по формуле: $\cos \varphi = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ 1. Скалярное произведение: $1 \cdot 5 + (-7) \cdot 1 + 13 \cdot 1 = 5 - 7 + 13 = 11$ 2. Модули векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-7)^2 + 13^2} = \sqrt{1 + 49 + 169} = \sqrt{219}$ $|\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1 + 1} = \sqrt{27}$ 3. Косинус угла: $\cos \varphi = \frac{11}{\sqrt{219} \cdot \sqrt{27}} = \frac{11}{\sqrt{5913}} = \frac{11}{\sqrt{9 \cdot 657}} = \frac{11}{3\sqrt{657}}$ $\varphi = \arccos\left(\frac{11}{3\sqrt{657}}\right)$ **Ответ:** $\arccos\left(\frac{11}{3\sqrt{657}}\right)$ ### Решение задания 19 Упорядоченный ряд: $-9; -5; 2; 3; 5; 6; 7; 15$ 1. Мода: в выборке нет повторяющихся чисел, значит, моды нет. 2. Медиана (среднее двух средних чисел 3 и 5): $(3 + 5) / 2 = 4$ 3. Среднее арифметическое: $(-9 - 5 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 + 15) / 8 = 24 / 8 = 3$ 4. Размах: $15 - (-9) = 15 + 9 = 24$ **Ответ:** Моды нет; медиана 4; среднее арифметическое 3; размах 24. ### Решение задания 20 $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x$ на $[-2; 1]$ 1. Производная: $f'(x) = 6x^2 + 6x - 36$ 2. Критические точки ($f'(x) = 0$): $6(x^2 + x - 6) = 0 \Rightarrow (x+3)(x-2) = 0$. Корни: $x = -3, x = 2$. 3. Точки не принадлежат отрезку $[-2; 1]$, проверяем концы отрезка: $f(-2) = 2(-8) + 3(4) - 36(-2) = -16 + 12 + 72 = 68$ $f(1) = 2(1) + 3(1) - 36(1) = 2 + 3 - 36 = -31$ **Ответ:** Наибольшее значение 68, наименьшее значение -31.