1. Решить тригонометрическое уравнение: cos x/3 = sqrt(3)/2

Привет! Давай разберем задания из твоего билета. **1. Решить тригонометрическое уравнение:** $\cos{\frac{x}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Пусть $\frac{x}{3} = t$. Тогда $\cos{t} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Подставим $t = \frac{x}{3}$: $\frac{x}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ $x = \pm \frac{\pi}{2} + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **2. Найти значение производной функции $f(x) = 2x^3 - 10x^2 + 1$ в точке $x_0 = -3$** Сначала найдем производную функции: $f'(x) = (2x^3 - 10x^2 + 1)' = 6x^2 - 20x$. Теперь подставим $x_0 = -3$: $f'(-3) = 6 \cdot (-3)^2 - 20 \cdot (-3) = 6 \cdot 9 + 60 = 54 + 60 = 114$. **3. Вычислить определенный интеграл:** $\int_{1}^{2} (3x^3 - 4x + 1) dx$ Находим первообразную: $F(x) = \frac{3x^4}{4} - 2x^2 + x$. Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница: $F(2) = \frac{3 \cdot 16}{4} - 2 \cdot 4 + 2 = 12 - 8 + 2 = 6$. $F(1) = \frac{3}{4} - 2 + 1 = 0.75 - 1 = -0.25$. $I = F(2) - F(1) = 6 - (-0.25) = 6.25$. **4. Найти количество четырехзначных чисел, составленных из цифр {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, при условии, что число не должно оканчиваться цифрами 1, 2 или 3 (цифры могут повторяться)** Всего мест для цифр 4. На первые 3 позиции можно поставить любую из 7 цифр: $7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$ способа. На последнюю позицию нельзя ставить 1, 2, 3. Значит, остаются цифры {4, 5, 6, 7} — это 4 варианта. Итого: $343 \cdot 4 = 1372$. **5. В прямоугольном параллелепипеде три измерения равны 7, 6 и 10 см. Найти диагональ параллелепипеда и объем параллелепипеда** Объем $V = a \cdot b \cdot c = 7 \cdot 6 \cdot 10 = 420$ см$^3$. Диагональ $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{7^2 + 6^2 + 10^2} = \sqrt{49 + 36 + 100} = \sqrt{185}$ см.