4.242. В остроугольном треугольнике АВС угол В равен 60°. Докажите, что точки А, С, центр описанной окружности треугольника АВС и центр вписанной окружности треугольника АВС лежат на одной окружности.

Пусть $\angle B = 60^\circ$. Обозначим: $O$ — центр описанной окружности, $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Для доказательства того, что точки $A, C, O, I$ лежат на одной окружности, достаточно показать, что $\angle AIC = \angle AOC$ или $\angle AIC + \angle AOC = 180^\circ$ (в зависимости от взаимного расположения). 1. Найдём $\angle AOC$. Так как $O$ — центр описанной окружности, центральный угол, опирающийся на дугу $AC$, связан с вписанным углом $B$: $\angle AOC = 2 \angle B = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$. 2. Найдём $\angle AIC$. В треугольнике $ABC$ точка $I$ — пересечение биссектрис. Угол $AIC$ в треугольнике $AIC$ равен: $\angle AIC = 180^\circ - (\angle IAC + \angle ICA) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle C)$. Так как $\angle A + \angle C = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$, то $\angle IAC + \angle ICA = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$. Следовательно, $\angle AIC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Так как $\angle AIC = \angle AOC = 120^\circ$, точки $A, C, O, I$ видят отрезок $AC$ под одним и тем же углом, что означает, что они лежат на одной окружности (по обратной теореме о вписанных углах). Что и требовалось доказать.