Задание 1. Найдите производную функций:

### Задание 1 а) $f'(x) = 12x^3 + 2x$ б) $f'(x) = 6 \cos x$ в) $f(x) = 2x^2 - 8x + 5x - 20 = 2x^2 - 3x - 20$, тогда $f'(x) = 4x - 3$ ### Задание 2 Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. $f(1) = 2(1)^2 - 1 + 3 = 4$. $f'(x) = 4x - 1$, значит $f'(1) = 4(1) - 1 = 3$. Уравнение: $y = 4 + 3(x - 1) = 4 + 3x - 3 = 3x + 1$. ### Задание 3 $S = \int_1^2 (x^2 + 2) dx = [\frac{x^3}{3} + 2x]_1^2 = (\frac{8}{3} + 4) - (\frac{1}{3} + 2) = \frac{7}{3} + 2 = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3}$. ### Задание 4 а) $\text{ctg } x = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. б) ОДЗ: $\frac{x+1}{3} > 0, \frac{-3x+5}{2} > 0$. Решаем: $x+1 = \frac{-3x+5}{2} \implies 2x+2 = -3x+5 \implies 5x = 3 \implies x = 0,6$. в) $4^{x^2-4x-2} = 4^3 \implies x^2 - 4x - 2 = 3 \implies x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета $x_1 = 5, x_2 = -1$. ### Задание 5 Метод интервалов для $\frac{(x-2)(x+2)}{2x+1} < 0$. Нули: $2, -2, -0,5$. Интервалы: $(-\infty, -2) \cup (-0,5, 2)$. ### Задание 6 Исследование функции по графику: - Область определения: $D(f) = [-3; 6]$. - Множество значений: $E(f) = [-1; 2]$. - Нули функции: $x = -2, x = 3, x = 5$. - Точки экстремума: максимум $(1; 2)$, минимум $(4; -1)$. - Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ на $(-2; 3) \cup (5; 6]$, $f(x) < 0$ на $[-3; -2) \cup (3; 5)$. ### Задание 7 Площади граней: $ab=4, bc=2, ac=3$. Перемножим: $(abc)^2 = 24 \implies abc = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$. $S_{полн} = 2(ab + bc + ac) = 2(4 + 2 + 3) = 18 \text{ см}^2$. ### Задание 8 По теореме Пифагора для сечения: $h^2 = l^2 - r^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$. Высота $h = 4 \text{ м}$.