Является ли система чисел 19, 23, 25, -19 приведенной системой вычетов по модулю 12?

### Решение заданий: **1.** Приведенная система вычетов по модулю $n$ — это множество чисел, которые попарно несравнимы по модулю $n$ и взаимно просты с $n$. Для модуля $n=12$ количество чисел в такой системе $\phi(12) = 12(1-1/2)(1-1/3) = 4$. Взаимно просты с 12 числа: 1, 5, 7, 11. Проверим данные числа по модулю 12: $19 \equiv 7 \pmod{12}$ $23 \equiv 11 \pmod{12}$ $25 \equiv 1 \pmod{12}$ $-19 \equiv 5 \pmod{12}$ Множество вычетов: $\{1, 5, 7, 11\}$. **Ответ: Да, является.** **2.** Используем малую теорему Ферма: $a^{12} \equiv 1 \pmod{13}$ при $a$ не делящемся на 13. $5^{80} = (5^{12})^6 \cdot 5^8 \equiv 1^6 \cdot 5^8 \equiv 5^8 \equiv (5^2)^4 \equiv 25^4 \equiv (-1)^4 \equiv 1 \pmod{13}$. $7^{100} = (7^{12})^8 \cdot 7^4 \equiv 1^8 \cdot 7^4 \equiv 49^2 \equiv 10^2 \equiv 100 \equiv 9 \pmod{13}$. Итого: $1 + 9 = 10$. **Ответ: 10.** **3.** Последняя цифра числа $17^{500}$ совпадает с последней цифрой $7^{500}$. Циклы степеней 7: $7^1=7, 7^2=9, 7^3=3, 7^4=1$. Цикл длины 4. $500$ делится на 4 без остатка, значит $17^{500}$ оканчивается на 1. **Ответ: 1.** **4.** $N = 100x + 10y + 2$. $N$ делится на $28 \Rightarrow N$ делится на $4$ и $7$. Признак делимости на 4: число $10y + 2$ делится на 4. Возможные $y$: $1$ ($12/4=3$), $3$ ($32/4=8$), $5$ ($52/4=13$), $7$ ($72/4=18$), $9$ ($92/4=23$). Проверяем на 7 ($100x + 10y + 2 = 28k \Rightarrow 2x + 3y + 2 = 0 \pmod 7$): Если $y=1: 2x + 3 + 2 = 0 \pmod 7 \Rightarrow 2x = -5 = 2 \Rightarrow x=1$. $N = 112, 112/28 = 4$. Решение $x=1, y=1$. **Ответ: 1, 1.** **5.** $8x \equiv 20 \pmod{12}$. Сократим на $\gcd(8, 12) = 4$: $2x \equiv 5 \pmod 3 \Rightarrow 2x \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow x \equiv 1 \pmod 3$. Решения в классе вычетов по модулю 12: $x = 1, 4, 7, 10$. **Ответ: 1, 4, 7, 10.** **6.** $3x + 4.5y = 105$. Умножим на 2 для удобства: $6x + 9y = 210 \Rightarrow 2x + 3y = 70$. Требуется минимизировать $x+y$. Выразим $y = (70-2x)/3$. Чтобы $y$ было целым, $x$ должен давать остаток $1$ при делении на $3$ (или $x \equiv 2 \pmod 3$?). Нет, $70 \equiv 1 \pmod 3$, $2x \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow x \equiv 2 \pmod 3$. Пусть $x=2$: $y = 66/3 = 22$. Труб всего $24$. Пусть $x=5$: $y = 60/3 = 20$. Труб всего $25$. Чем больше $x$, тем больше труб. Минимальное количество труб при $x=2, y=22$. **Ответ: 2 трубы по 3м, 22 трубы по 4.5м.**