Контрольная работа «Прямоугольный треугольник»

Для решения задач по геометрии важно следовать логическим построениям и правилам доказательства. Вот решения для теоретических и расчетных задач из предложенных вариантов: ### Вариант 1 **Задача 2 (Доказательство равенства треугольников)** Дано: $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. $BM$ — медиана. 1. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, $BM \perp AC$ и $\angle ABM = \angle CBM$. 2. Рассмотрим $\triangle ABN$ и $\triangle CBN$: - $AB = CB$ (как боковые стороны равнобедренного $\triangle ABC$); - $\angle ABN = \angle CBN$ (так как $BN$ лежит на биссектрисе $\angle B$); - $BN$ — общая сторона. 3. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) $\triangle ABN = \triangle CBN$. Что и требовалось доказать. **Задача 4 (Расстояние от точки до прямой)** Дано: $\triangle CDE$ — прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$), $EF$ — биссектриса, $FC = 12$ см. 1. По определению биссектрисы, любая точка на ней равноудалена от сторон угла. Значит, расстояние от точки $F$ до стороны $DE$ равно расстоянию от точки $F$ до стороны $CE$, то есть длине перпендикуляра $FC$. 2. Таким образом, искомое расстояние равно $12$ см. ### Вариант 2 **Задача 2 (Доказательство)** Аналогично Варианту 1: 1. $BM$ — медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию $AC$, следовательно, она является биссектрисой угла $B$, то есть $\angle ABE = \angle CBE$. 2. В $\triangle ABE$ и $\triangle CBE$: - $AB = CB$ (боковые стороны); - $\angle ABE = \angle CBE$; - $BE$ — общая. 3. Треугольники равны по первому признаку. Что и требовалось доказать.