Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций: 4.𝑦=𝑥2+4𝑥+1,𝑦=−2𝑥−4

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2 + 4x + 1$ и $y = -2x - 4$, выполним следующие шаги: 1. Найдем точки пересечения графиков, приравняв функции: $x^2 + 4x + 1 = -2x - 4$ $x^2 + 6x + 5 = 0$ 2. Решим квадратное уравнение: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 = 4^2$ $x_1 = \frac{-6 - 4}{2} = -5$ $x_2 = \frac{-6 + 4}{2} = -1$ 3. Определим, какая функция расположена выше на интервале $(-5; -1)$. Проверим точку $x = -2$: $y_1(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$ $y_2(-2) = -2(-2) - 4 = 4 - 4 = 0$ Так как $0 > -3$, то прямая $y = -2x - 4$ находится выше параболы. 4. Вычислим площадь как определенный интеграл: $S = \int_{-5}^{-1} ((-2x - 4) - (x^2 + 4x + 1)) dx$ $S = \int_{-5}^{-1} (-x^2 - 6x - 5) dx$ $S = \left[ -\frac{x^3}{3} - 3x^2 - 5x \right]_{-5}^{-1}$ 5. Подставим пределы интегрирования: $F(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} - 3(-1)^2 - 5(-1) = \frac{1}{3} - 3 + 5 = 2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ $F(-5) = -\frac{(-5)^3}{3} - 3(-5)^2 - 5(-5) = \frac{125}{3} - 75 + 25 = \frac{125}{3} - 50 = \frac{125 - 150}{3} = -\frac{25}{3}$ $S = \frac{7}{3} - (-\frac{25}{3}) = \frac{32}{3} = 10 \frac{2}{3}$ **Ответ: 10 2/3 (или примерно 10.67)**