225. Найдите электрическое сопротивление цепи, если R = 4 Ом (см. рисунок).

Для решения задачи проанализируем схему. У нас есть мостовая схема или комбинация последовательных и параллельных соединений. Дано: $R = 4 \text{ Ом}$ 1. Рассмотрим правую часть цепи: резистор $R$ (сверху) и резистор $R/2$ (снизу) соединены последовательно друг с другом? Нет, они стоят в параллельных ветвях правой части. Давайте перерисуем логику: - Входные зажимы находятся слева и справа. - Ток разделяется на две ветви: верхнюю (резистор $R$) и нижнюю (резистор $R$). Эти две ветви сходятся в центральной точке. - Однако, схема выглядит как мост. Давайте упростим. Обозначим точки: - А — левый узел (вход). - B — правый узел (выход). - C — верхний узел между левым и правым плечом. - D — нижний узел между левым и правым плечом. По схеме: - Между А и С стоит резистор $R$ (верхний). Но на схеме это не так. Ток входит в левый узел. Из него выходят две ветви: верхняя с резистором $R$ и нижняя с резистором $R$. Они соединяются в центральном узле (назовем его M). - Из точки M идет вертикальный резистор $R$ вниз к точке N. - Из точки M идет горизонтальный резистор $R$ вправо. - Из точки N идет горизонтальный резистор $R/2$ вправо. - Правые концы этих двух ветвей соединяются в выходной точке. Стоп, схема проще: это параллельное соединение двух блоков. Верхняя ветвь: резистор $R$ последовательно с резистором $R$. Итого $R + R = 2R$? Нет, по рисунку: - Вход -> левый узел. - От левого узла две параллельные ветви: одна вверх к резистору $R$, одна вниз к резистору $R$. - Они сходятся в вертикальном резисторе $R$? Давайте внимательнее: В левом узле ток делится на две ветви: 1) Верхний резистор $R$. 2) Нижний резистор $R$. Эти ветви встречаются в центральном вертикальном резисторе $R$. Это классическая схема моста Уитстона или просто сложная цепь. Обозначим левый узел $1$, правый $2$, центральный верхний $3$, центральный нижний $4$. Между 1 и 3 — резистор $R$. Между 1 и 4 — резистор $R$. Между 3 и 4 — резистор $R$. Между 3 и 2 — резистор $R$. Между 4 и 2 — резистор $R/2$. Так как схема симметрична относительно вертикальной оси (в плане сопротивлений $R, R, R$), но нижняя ветвь $R/2$ нарушает симметрию, метод эквипотенциальных точек не работает просто так. Однако, можно заметить, что ток из левого узла идет через верхний резистор $R$ и нижний $R$ параллельно. Пусть ток входит слева. Напряжение на верхнем и нижнем резисторах $R$ одинаково. Это сложная задача. Воспользуемся методом преобразования треугольника в звезду или методом потенциалов узлов. Пусть потенциал левого узла $V_1 = U$, правого $V_2 = 0$. Центральный верхний узел $V_3$, центральный нижний $V_4$. Уравнения Кирхгофа: 1) $\frac{U - V_3}{R} + \frac{V_4 - V_3}{R} = \frac{V_3 - 0}{R}$ 2) $\frac{U - V_4}{R} + \frac{V_3 - V_4}{R} = \frac{V_4 - 0}{R/2}$ Из (1): $U - V_3 + V_4 - V_3 = V_3 \Rightarrow U + V_4 = 3V_3 \Rightarrow V_3 = (U + V_4)/3$ Из (2): $(U - V_4) + (V_3 - V_4) = 2V_4 \Rightarrow U + V_3 - 2V_4 = 2V_4 \Rightarrow U + V_3 = 4V_4$ Подставим $V_3$: $U + (U + V_4)/3 = 4V_4$ $3U + U + V_4 = 12V_4$ $4U = 11V_4 \Rightarrow V_4 = \frac{4}{11}U$ $V_3 = \frac{U + 4/11 U}{3} = \frac{15/11 U}{3} = \frac{5}{11}U$ Ток $I = I_{верх} + I_{низ} = \frac{U - V_3}{R} + \frac{U - V_4}{R} = \frac{1}{R} (2U - V_3 - V_4) = \frac{1}{R} (2U - \frac{5}{11}U - \frac{4}{11}U) = \frac{1}{R} (2U - \frac{9}{11}U) = \frac{1}{R} (\frac{22-9}{11})U = \frac{13}{11} \frac{U}{R}$ $R_{экв} = \frac{U}{I} = \frac{11}{13} R = \frac{11}{13} \cdot 4 = \frac{44}{13} \approx 3,38 \text{ Ом}$. Ответ: $\frac{44}{13} \text{ Ом} \approx 3,38 \text{ Ом}$.