Вычислить объём правильной треугольной пирамиды, в которой апофема равна √5 см, а высота равна √2 см.

Для решения задачи воспользуемся формулой объёма пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$. 1. Пусть $H = \sqrt{2}$ см — высота пирамиды, $l = \sqrt{5}$ см — апофема (высота боковой грани). 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды ($H$), апофемой ($l$) и отрезком ($r$), соединяющим основание высоты с серединой стороны основания (это радиус вписанной в основание окружности). По теореме Пифагора: $r^2 = l^2 - H^2 = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$. Значит, $r = \sqrt{3}$ см. 3. В правильном треугольнике в основании радиус вписанной окружности связан со стороной $a$ формулой: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Следовательно, $a = 2r\sqrt{3} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$ см. 4. Площадь правильного треугольника в основании: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см². 5. Вычислим объём: $V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{6}$ см³. **Ответ:** $3\sqrt{6}$ см³.