Решите уравнение 1 - √(x-2) = x - 1

Привет! Давай разберем задания из твоего варианта. **1. Уравнение $1 - \sqrt{x-2} = x - 1$** Перенесем: $2 - x = \sqrt{x-2}$. Возведем в квадрат (при условии $2-x \ge 0$, то есть $x \le 2$): $4 - 4x + x^2 = x - 2$ $x^2 - 5x + 6 = 0$ Корни по теореме Виета: $x_1=2, x_2=3$. Проверка условия $x \le 2$: подходит только $x=2$. **Ответ: 2.** **2. Неравенство $6 \cdot 3^{x+2} - 3^x > 159$** $6 \cdot 9 \cdot 3^x - 3^x > 159$ $54 \cdot 3^x - 3^x > 159$ $53 \cdot 3^x > 159$ $3^x > 3$ $x > 1$. **Ответ: (1; +∞).** **3. Значение выражения $(\frac{1}{8})^{-\frac{4}{3}} + 125^{\frac{1}{3}} \cdot (6^3)^0 - 49^{0.5}$** $(2^{-3})^{-\frac{4}{3}} + \sqrt[3]{125} \cdot 1 - \sqrt{49} = 2^4 + 5 - 7 = 16 + 5 - 7 = 14$. **Ответ: 14.** **4. Уравнение $\log_{16} 8 + \log_{16} (12x + 8) = 1$** $\log_{16} (8(12x + 8)) = 1$ $8(12x + 8) = 16^1$ $96x + 64 = 16$ $96x = -48$ $x = -0.5$. Проверка: $12(-0.5) + 8 = 2 > 0$ (подходит). **Ответ: -0.5.** **5. Точка максимума функции $f(x) = 5 + 12x - x^3$** $f'(x) = 12 - 3x^2$. Приравняем к 0: $3x^2 = 12 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. Метод интервалов для производной: $(-\infty, -2)$ минус, $(-2, 2)$ плюс, $(2, +\infty)$ минус. Максимум при переходе с плюса на минус в точке $x=2$. **Ответ: 2.** **6. Первообразная $F(x)$ для $f(x) = 3x^2 - 4x + 2$, если $F(-2) = -4$** $F(x) = \int (3x^2 - 4x + 2) dx = x^3 - 2x^2 + 2x + C$. Подставим $F(-2) = -4$: $(-8) - 2(4) + 2(-2) + C = -4 -8 - 8 - 4 + C = -4 -20 + C = -4 C = 16$. **Ответ: $F(x) = x^3 - 2x^2 + 2x + 16$.** **7. Уравнение $2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0$** $2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x - 3 = 0$ $-2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$. Замена $t = \sin x$: $2t^2 - 3t + 1 = 0$, $D = 9 - 8 = 1$, $t = \frac{3 \pm 1}{4}$. $t_1 = 1 \Rightarrow \sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. $t_2 = 0.5 \Rightarrow \sin x = 0.5 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$. **Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.** **8. Доказать тождество $\frac{1-\sin^2 \alpha}{1-\cos^2 \alpha} \cdot \frac{1}{\text{ctg}^2 \alpha} = 1$** $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \frac{1}{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \text{ctg}^2 \alpha \cdot \tan^2 \alpha = 1$. Доказано. **9. Объем конуса** Образующая $l = 6$, угол наклона к основанию $30^{\circ}$. Высота $H = l \cdot \sin 30^{\circ} = 6 \cdot 0.5 = 3$ см. Радиус $R = l \cdot \cos 30^{\circ} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см. $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (3\sqrt{3})^2 \cdot 3 = \pi \cdot 27 = 27\pi$ см$^3$. **Ответ: $27\pi$ см$^3$.** **10. Площадь полной поверхности призмы** Основание — прямоуг. треугольник (катеты 16 и 12). Гипотенуза $c = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = 20$ см. Периметр основания $P = 16 + 12 + 20 = 48$ см. Площадь основания $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96$ см$^2$. Боковая поверхность $S_{бок} = P \cdot H = 48 \cdot 14 = 672$ см$^2$. $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 96 + 672 = 192 + 672 = 864$ см$^2$. **Ответ: 864 см$^2$.**