Вычислить интегралы: а) интеграл cos x + sin x / sin 2x dx; б) интеграл от -2 до 1 (2x + 7) / (x^2 + x - 2) dx

1. Вычисление интегралов: а) $\int \frac{\cos x + \sin x}{\sin 2x} dx$. Так как $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, интеграл равен $\int \frac{\cos x + \sin x}{2 \sin x \cos x} dx = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x}) dx = \frac{1}{2} (\ln |\operatorname{tg} \frac{x}{2}| + \ln |\operatorname{tg} (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4})|) + C$. б) $\int_{-2}^{1} \frac{2x+7}{x^2+x-2} dx$. Знаменатель $x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$. Разложим на простейшие дроби: $\frac{2x+7}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}$. Находим $A=-1, B=3$. Интеграл: $\int_{-2}^{1} (\frac{3}{x-1} - \frac{1}{x+2}) dx = [3 \ln|x-1| - \ln|x+2|]_{-2}^{1}$. Предел при $x \to 1$ и $x \to -2$ стремится к бесконечности. Интеграл расходится. 2. Площадь фигуры $y^2 = (4-x)^3$, $x=0$. Фигура симметрична относительно оси $Ox$, ограниченная $y = \pm (4-x)^{3/2}$ и $x=0$. Пересечение с $Ox$ при $x=4$. Площадь $S = 2 \int_{0}^{4} (4-x)^{3/2} dx = 2 [-\frac{2}{5}(4-x)^{5/2}]_{0}^{4} = 2 (0 - (-\frac{2}{5} \cdot 4^{5/2})) = 2 \cdot \frac{2}{5} \cdot 32 = \frac{128}{5} = 25,6$. 3. Решение ДУ $y' + y \cos x = \sin x \cos x$. Это линейное уравнение $y' + p(x)y = q(x)$. Интегрирующий множитель $\mu(x) = e^{\int \cos x dx} = e^{\sin x}$. $y \cdot e^{\sin x} = \int \sin x \cos x e^{\sin x} dx$. Пусть $t = \sin x, dt = \cos x dx$. Тогда $\int t e^t dt = e^t(t-1) + C$. $y e^{\sin x} = e^{\sin x}(\sin x - 1) + C$. $y = \sin x - 1 + C e^{-\sin x}$. 4. Решение ДУ $y'' + 4y = \sin 2x + 1$, $y(0) = 1/4, y'(0) = 1$. Однородное: $y'' + 4y = 0 \Rightarrow k^2 + 4 = 0 \Rightarrow k = \pm 2i$. $y_{odn} = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x$. Частное решение $y_{ch} = A \cos 2x + B \sin 2x + D$. Так как правая часть содержит $\sin 2x$, ищем $y_{ch} = x(A \cos 2x + B \sin 2x) + D$. Подстановка дает $D = 1/4, A = -1/8, B = 0$. $y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x - \frac{1}{8} x \cos 2x + \frac{1}{4}$. С учетом начальных условий: $C_1 = 0, C_2 = 9/16$. $y = \frac{9}{16} \sin 2x - \frac{1}{8} x \cos 2x + \frac{1}{4}$.