1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AH = 5,4, cos A = 3/5. Найдите AB.

1. В треугольнике $ABC$ ($∠C=90°$) $CH$ — высота. В прямоугольном треугольнике $ACH$ ($∠H=90°$) имеем: $cos A = \frac{AH}{AC} = \frac{3}{5}$. Так как $AH=5,4$, то $AC = \frac{AH}{cos A} = \frac{5,4}{0,6} = 9$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($∠C=90°$) имеем: $cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}$. Следовательно, $AB = \frac{AC}{cos A} = \frac{9}{0,6} = 15$. Ответ: 15. 2. Длина вектора $\vec{a}=(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2}$. Имеем: $|\vec{a}| = \sqrt{12^2+5^2} = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13$. Ответ: 13. 3. Площадь основания $S$ правильного треугольника со стороной $a=8$ равна: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$. Объем пирамиды $V = \frac{1}{3}Sh$. По условию $V = 4\sqrt{3}$. Имеем: $4\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 16\sqrt{3} \cdot h \Rightarrow 4 = \frac{16}{3}h \Rightarrow h = \frac{12}{16} = 0,75$. Ответ: 0,75. 4. Вероятность попадания $p=0,6$, промаха $q=1-0,6=0,4$. Биатлонист совершает 6 выстрелов. Вероятность события (попал, попал, попал, промах, промах, промах) равна $0,6^3 \cdot 0,4^3 = 0,216 \cdot 0,064 = 0,013824$. Округляем до тысячных: $0,014$. Ответ: 0,014. 5. 20% тарелок имеют дефект. При контроле 85% бракованных тарелок выявляется, значит, 15% бракованных тарелок поступают в продажу. Вероятность того, что тарелка из партии бракованная, равна $0,2$. Тарелка, поступившая в продажу, либо не имеет дефекта (вероятность $1-0,2=0,8$), либо имеет скрытый дефект (вероятность $0,2 \cdot 0,15 = 0,03$). Всего тарелок в продаже $0,8 + 0,03 = 0,83$. Вероятность того, что купленная тарелка не имеет дефектов: $\frac{0,8}{0,83} \approx 0,96$. Ответ: 0,96. 6. $tg \frac{\pi(x-5)}{3} = -\sqrt{3}$. Решение: $\frac{\pi(x-5)}{3} = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Умножаем на $\frac{3}{\pi}$: $x-5 = -1 + 3k \Rightarrow x = 4 + 3k$. Наименьший положительный корень при $k=0$ равен $x=4$. Ответ: 4. 7. По формуле приведения $cos 29° = sin(90°-29°) = sin 61°$. Тогда $\frac{5 cos 29°}{sin 61°} = \frac{5 sin 61°}{sin 61°} = 5$. Ответ: 5. 8. Функция возрастает там, где её производная $f'(x) \ge 0$. На рисунке производная $f'(x)$ выше оси $OX$ (или равна 0) на интервалах $[-8; -5]$, $[-3; -1]$ и $[2; 5]$. Длины этих промежутков: $3, 2, 3$. Наибольшая длина равна 3. Ответ: 3.