1. Вычислить интегралы: а) интеграл от корня кубического из (x^3-8x^2) dx; б) определенный интеграл от 0 до 3 dx / корень из (5-4x-x^2).

Привет! Это задания из программы высшей математики для студентов первого курса. Давай разберем их по порядку. ### 1. Вычислить интегралы **а)** $\int \sqrt[3]{x^3 - 8x^2} dx = \int \sqrt[3]{x^2(x-8)} dx = \int x \sqrt[3]{1 - \frac{8}{x}} dx$. Данный интеграл не берется в элементарных функциях. **б)** $\int_{0}^{3} \frac{dx}{\sqrt{5-4x-x^2}}$. Дополним подкоренное выражение до полного квадрата: $5-4x-x^2 = 9 - (x^2+4x+4) = 3^2 - (x+2)^2$. Используем формулу $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-u^2}} = \arcsin\frac{u}{a} + C$. $\int_{0}^{3} \frac{dx}{\sqrt{3^2 - (x+2)^2}} = \left[ \arcsin\frac{x+2}{3} \right]_{0}^{3} = \arcsin\frac{5}{3} - \arcsin\frac{2}{3}$. *Примечание: значение $\arcsin(5/3)$ определено только в комплексной области, так как $|5/3| > 1$. Возможно, в условии опечатка в пределах или числах.* ### 2. Вычислить площадь, ограниченную линиями $y=x^2, y=2-x^2$ Найдем точки пересечения: $x^2 = 2 - x^2 \Rightarrow 2x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$. Площадь $S = \int_{-1}^{1} (2 - x^2 - x^2) dx = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) dx = 2 \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = 2 \left( (1 - 1/3) - (-1 + 1/3) \right) = 2(2/3 + 2/3) = 8/3 \approx 2.67$. ### 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения $y' = -\frac{x+y}{x}$ Это однородное уравнение. Пусть $y = ux, y' = u'x + u$. $u'x + u = -\frac{x + ux}{x} = -(1+u) = -1 - u$. $u'x = -1 - 2u \Rightarrow \frac{du}{-1-2u} = \frac{dx}{x}$. Интегрируем: $-\frac{1}{2} \ln|1+2u| = \ln|x| + C \Rightarrow \ln|1+2\frac{y}{x}| = -2\ln|x| + C_1$. $1 + \frac{2y}{x} = \frac{C}{x^2} \Rightarrow x^2 + 2xy = C$. ### 4. Найти общее решение $y'' - y = x \cos^2 x$ Это линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. 1) Однородное: $r^2 - 1 = 0 \Rightarrow r = \pm 1$. $y_{oo} = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$. 2) Неоднородная часть: $x \cos^2 x = x \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x \cos 2x$. Решаем для правой части методом неопределенных коэффициентов или суперпозиции для каждой части отдельно.