Задание 7. Решите уравнение: 1) $x^4 = (x - 20)^2$. Задание 8. Решите систему уравнений: 1) $3x^2 - 4x = y; 3x - 4 = y$.

Для примера разберу по одному номеру из каждого задания. ### Задание 7 1) $x^4 = (x - 20)^2$ Извлечём квадратный корень из обеих частей. Возможны два случая: $x^2 = x - 20$ или $x^2 = -(x - 20)$ * $x^2 - x + 20 = 0$ $D = 1^2 - 4 \cdot 20 = 1 - 80 = -79$ (корней нет) * $x^2 = -x + 20 \Rightarrow x^2 + x - 20 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = -5, x_2 = 4$ **Ответ:** $-5; 4$. --- ### Задание 8 1) $\begin{cases} 3x^2 - 4x = y \\ 3x - 4 = y \end{cases}$ Приравняем левые части уравнений: $3x^2 - 4x = 3x - 4$ $3x^2 - 7x + 4 = 0$ $D = 49 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$ $x_1 = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \Rightarrow y_1 = 3 \cdot \frac{4}{3} - 4 = 4 - 4 = 0$ $x_2 = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \Rightarrow y_2 = 3 \cdot 1 - 4 = -1$ **Ответ:** $(1\frac{1}{3}; 0), (1; -1)$. --- ### Задание 9 1) $\begin{cases} x^2 + 3y^2 = 31 \\ 2x^2 + 6y^2 = 31x \end{cases}$ Заметим, что во втором уравнении левая часть в 2 раза больше левой части первого уравнения: $2(x^2 + 3y^2) = 31x$ Подставим значение из первого уравнения ($31$): $2 \cdot 31 = 31x$ $62 = 31x$ $x = 2$ Теперь найдём $y$, подставив $x = 2$ в первое уравнение: $2^2 + 3y^2 = 31 \Rightarrow 4 + 3y^2 = 31 \Rightarrow 3y^2 = 27 \Rightarrow y^2 = 9$ $y_1 = 3, y_2 = -3$ **Ответ:** $(2; 3), (2; -3)$. --- ### Задание 10 1) $(x - 1)^2 < \sqrt{2}(x - 1)$ Перенесем всё в левую часть и вынесем общий множитель за скобки: $(x - 1)^2 - \sqrt{2}(x - 1) < 0$ $(x - 1)(x - 1 - \sqrt{2}) < 0$ Корни выражения слева: $x = 1$ и $x = 1 + \sqrt{2}$. Методом интервалов определяем знак на промежутках: на $(1; 1 + \sqrt{2})$ выражение отрицательно. **Ответ:** $(1; 1 + \sqrt{2})$.