1. В треугольнике ABC медиана AM перпендикулярна медиане BN. Найдите площадь треугольника ABC, если AM=2 и BN=3.

Пусть $G$ — точка пересечения медиан $AM$ и $BN$. Известно, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. 1. Найдем отрезки медиан: $AG = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3}$ $GM = \frac{1}{3} AM = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$ $BG = \frac{2}{3} BN = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2$ $GN = \frac{1}{3} BN = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$ 2. Так как медианы $AM$ и $BN$ перпендикулярны, треугольники $\triangle ABG, \triangle BGM, \triangle AGN, \triangle BGN$ (все, образованные пересечением) — прямоугольные. Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей шести малых треугольников, на которые делят его медианы, но проще использовать то, что $S_{ABC} = 3 \cdot S_{ABG}$ или заметить, что $S_{ABG} = \frac{1}{2} \cdot AG \cdot BG$. $S_{ABG} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3}$ Так как точка пересечения медиан делит треугольник на три равновеликих треугольника ($S_{ABG} = S_{BCG} = S_{ACG}$), площадь треугольника $ABC$ составляет: $S_{ABC} = 3 \cdot S_{ABG} = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4$ **Ответ: 4**