Задание 5. Решите уравнение: 1) 1/x^2 + 4/x - 12 = 0...

Для решения этих уравнений удобнее всего использовать метод введения новой переменной. ### Решение уравнений 1–8 Замена: $t = \frac{1}{x}$ (при этом $x \neq 0$). Уравнение принимает вид: $t^2 + at + b = 0$. 1) $t^2+4t-12=0 \Rightarrow (t+6)(t-2)=0 \Rightarrow t_1=-6, t_2=2$. Тогда $x_1=-\frac{1}{6}, x_2=\frac{1}{2}$. 2) $t^2-3t-4=0 \Rightarrow (t-4)(t+1)=0 \Rightarrow t_1=4, t_2=-1$. Тогда $x_1=\frac{1}{4}, x_2=-1$. 3) $t^2+2t-3=0 \Rightarrow (t+3)(t-1)=0 \Rightarrow t_1=-3, t_2=1$. Тогда $x_1=-\frac{1}{3}, x_2=1$. 4) $t^2-t-6=0 \Rightarrow (t-3)(t+2)=0 \Rightarrow t_1=3, t_2=-2$. Тогда $x_1=\frac{1}{3}, x_2=-\frac{1}{2}$. 5) $t^2+3t-10=0 \Rightarrow (t+5)(t-2)=0 \Rightarrow t_1=-5, t_2=2$. Тогда $x_1=-\frac{1}{5}, x_2=\frac{1}{2}$. 6) $t^2-5t-14=0 \Rightarrow (t-7)(t+2)=0 \Rightarrow t_1=7, t_2=-2$. Тогда $x_1=\frac{1}{7}, x_2=-\frac{1}{2}$. 7) $t^2+t-12=0 \Rightarrow (t+4)(t-3)=0 \Rightarrow t_1=-4, t_2=3$. Тогда $x_1=-\frac{1}{4}, x_2=\frac{1}{3}$. 8) $t^2-6t-7=0 \Rightarrow (t-7)(t+1)=0 \Rightarrow t_1=7, t_2=-1$. Тогда $x_1=\frac{1}{7}, x_2=-1$. ### Решение уравнений 9–16 Замена: $t = \frac{1}{x-a}$ (при этом $x \neq a$). Уравнение принимает вид: $t^2 + bt + c = 0$. 9) $\frac{1}{(x-2)^2}-\frac{1}{x-2}-6=0$. Пусть $t=\frac{1}{x-2} \Rightarrow t^2-t-6=0 \Rightarrow t_1=3, t_2=-2$. $\frac{1}{x-2}=3 \Rightarrow x-2=\frac{1}{3} \Rightarrow x_1=2\frac{1}{3}$; $\frac{1}{x-2}=-2 \Rightarrow x-2=-\frac{1}{2} \Rightarrow x_2=1,5$. 10) $t=\frac{1}{x-1} \Rightarrow t^2+4t-12=0 \Rightarrow t_1=-6, t_2=2$. $x-1=-\frac{1}{6} \Rightarrow x_1=\frac{5}{6}$; $x-1=\frac{1}{2} \Rightarrow x_2=1,5$. 11) $t=\frac{1}{x-3} \Rightarrow t^2-3t-4=0 \Rightarrow t_1=4, t_2=-1$. $x-3=\frac{1}{4} \Rightarrow x_1=3,25$; $x-3=-1 \Rightarrow x_2=2$. 12) $t=\frac{1}{x-1} \Rightarrow t^2+3t-10=0 \Rightarrow t_1=-5, t_2=2$. $x-1=-\frac{1}{5} \Rightarrow x_1=0,8$; $x-1=\frac{1}{2} \Rightarrow x_2=1,5$. 13) $t=\frac{1}{x-2} \Rightarrow t^2-5t-14=0 \Rightarrow t_1=7, t_2=-2$. $x-2=\frac{1}{7} \Rightarrow x_1=2\frac{1}{7}$; $x-2=-\frac{1}{2} \Rightarrow x_2=1,5$. 14) $t=\frac{1}{x-1} \Rightarrow t^2+2t-3=0 \Rightarrow t_1=-3, t_2=1$. $x-1=-\frac{1}{3} \Rightarrow x_1=\frac{2}{3}$; $x-1=1 \Rightarrow x_2=2$. 15) $t=\frac{1}{x-3} \Rightarrow t^2-6t-16=0 \Rightarrow t_1=8, t_2=-2$. $x-3=\frac{1}{8} \Rightarrow x_1=3,125$; $x-3=-\frac{1}{2} \Rightarrow x_2=2,5$. 16) $t=\frac{1}{x-4} \Rightarrow t^2+t-20=0 \Rightarrow t_1=-5, t_2=4$. $x-4=-\frac{1}{5} \Rightarrow x_1=3,8$; $x-4=\frac{1}{4} \Rightarrow x_2=4,25$.