Вычислите 9^(3/2) + 27^(2/3) - (1/16)^(-3/4). (1 балл)

1. $9^{3/2} + 27^{2/3} - (1/16)^{-3/4} = (3^2)^{3/2} + (3^3)^{2/3} - (2^{-4})^{-3/4} = 3^3 + 3^2 - 2^3 = 27 + 9 - 8 = 28$. 2. $\log_2 3 - \log_2(2-3x) = 2 - \log_2(4-3x)$. ОДЗ: $2-3x > 0 \Rightarrow x < 2/3$; $4-3x > 0 \Rightarrow x < 4/3$. Общее: $x < 2/3$. $\log_2 \frac{3}{2-3x} = \log_2 4 - \log_2(4-3x) = \log_2 \frac{4}{4-3x}$. $\frac{3}{2-3x} = \frac{4}{4-3x} \Rightarrow 12 - 9x = 8 - 12x \Rightarrow 3x = -4 \Rightarrow x = -4/3$. Ответ: $-4/3$. 3. $32^{2x+3} < 0,25 \Rightarrow (2^5)^{2x+3} < 2^{-2} \Rightarrow 10x + 15 < -2 \Rightarrow 10x < -17 \Rightarrow x < -1,7$. Ответ: $x \in (-\infty; -1,7)$. 4. $7 \cos(x - 3\pi/2) + 5 \sin x + 1 = 0$. Так как $\cos(x - 3\pi/2) = -\sin x$, получаем $-7\sin x + 5\sin x + 1 = 0 \Rightarrow -2\sin x = -1 \Rightarrow \sin x = 0,5$. Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$. 5. $f(x) = 3x^2 - 2x^3$. $f'(x) = 6x - 6x^2 = 6x(1-x)$. Критические точки $x=0, x=1$. При переходе через $x=0$ производная меняет знак с - на +, минимум. Через $x=1$ с + на -, максимум. Точки экстремума: $(0; 6)$ - минимум, $(1; 7)$ - максимум. 6. $F(x) = \int (x - 2x^3) dx = \frac{x^2}{2} - \frac{2x^4}{4} + C = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{2} + C$. Проходит через $(0; 3) \Rightarrow 3 = 0 - 0 + C \Rightarrow C=3$. Ответ: $F(x) = \frac{x^2-x^4}{2} + 3$. 7. $\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}, \alpha \in (0,5\pi; \pi)$ (II четверть, косинус отрицателен). $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - 15/16 = 1/16$. $\cos \alpha = -1/4$. 8. $S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi RH = 12\pi, H=4$. Разделим на $2\pi$: $R^2 + 4R = 6 \Rightarrow R^2 + 4R - 6 = 0$. Дискриминант $16 - 4(1)(-6) = 40$. $R = \frac{-4 + 2\sqrt{10}}{2} = -2 + \sqrt{10}$. Диаметр $D = 2R = 2\sqrt{10} - 4$. 9. $y = x^2 + x$ и $y = 3x$. Точки пересечения: $x^2 + x = 3x \Rightarrow x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x-2)=0$, точки $0$ и $2$. $S = \int_0^2 (3x - (x^2+x)) dx = \int_0^2 (2x - x^2) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^2 = 4 - 8/3 = 4/3$. 10. $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x+4} = 1$. $\sqrt{3x+1} = 1 + \sqrt{x+4}$. Возводим в квадрат: $3x+1 = 1 + 2\sqrt{x+4} + x + 4 \Rightarrow 2x - 4 = 2\sqrt{x+4} \Rightarrow x - 2 = \sqrt{x+4}$. Еще раз в квадрат: $x^2 - 4x + 4 = x + 4 \Rightarrow x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x-5)=0$. Проверка: $x=0$ не подходит, $x=5$: $\sqrt{16}-\sqrt{9} = 4-3=1$. Ответ: $x=5$.