Вычислите (27^(1/2) * (1/9)^(3/4))^3. (1 балл)

1. $(27^{1/2} \cdot (1/9)^{3/4})^3 = ((\sqrt{27}) \cdot (1/\sqrt[4]{9^3}))^3 = (3^{3/2} \cdot (3^{-2})^{3/4})^3 = (3^{3/2} \cdot 3^{-3/2})^3 = (3^0)^3 = 1$. Ответ: 1. 2. $\log_2(7x - 4) = 2 + \log_2 13 \log_2(7x - 4) = \log_2 4 + \log_2 13 \log_2(7x - 4) = \log_2 52 7x - 4 = 52 7x = 56 x = 8$. Ответ: 8. 3. $(1/25)^{2-x} < 125^{x+1} (5^{-2})^{2-x} < (5^3)^{x+1} 5^{-4+2x} < 5^{3x+3} -4 + 2x < 3x + 3 -x < 7 x > -7$. Ответ: $x \in (-7; +\infty)$. 4. $\cos x + \sin(\pi/2 - x) + \cos(\pi + x) = 0 \cos x + \cos x - \cos x = 0 \cos x = 0 x = \pi/2 + \pi k, k \in Z$. Ответ: $\pi/2 + \pi k, k \in Z$. 5. $y = 2x^3 + 9x^2 - 24x y' = 6x^2 + 18x - 24 6(x^2 + 3x - 4) = 0 6(x+4)(x-1) = 0 x_1 = -4, x_2 = 1$. Функция убывает на интервале $[-4; 1]$. Ответ: $[-4; 1]$. 6. $F(x) = \int (4 - x^2) dx = 4x - x^3/3 + C F(-3) = 10 4(-3) - (-3)^3/3 + C = 10 -12 - (-27/3) + C = 10 -12 + 9 + C = 10 -3 + C = 10 C = 13 F(x) = 4x - x^3/3 + 13$. Ответ: $F(x) = 4x - x^3/3 + 13$. 7. $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \sin^2\alpha + (-0,8)^2 = 1 \sin^2\alpha = 1 - 0,64 = 0,36 \sin\alpha = \pm 0,6$. Так как $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, синус положительный. Ответ: 0,6. 8. По теореме Пифагора $r^2 + h^2 = l^2 r^2 + 12^2 = 15^2 r^2 + 144 = 225 r^2 = 81 r = 9$. Диаметр $d = 2r = 18$. Ответ: 18. 9. $2 + x^2 = 3 x^2 = 1 x = \pm 1$. $S = \int_{-1}^1 (3 - (2 + x^2)) dx = \int_{-1}^1 (1 - x^2) dx = [x - x^3/3]_{-1}^1 = (1 - 1/3) - (-1 - (-1/3)) = 2/3 - (-2/3) = 4/3$. Ответ: $4/3$ (или $1\frac{1}{3}$). 10. $\sqrt{x+2} + \sqrt{3-x} = 3 (\sqrt{x+2} + \sqrt{3-x})^2 = 9 x + 2 + 2\sqrt{(x+2)(3-x)} + 3 - x = 9 5 + 2\sqrt{-x^2 + x + 6} = 9 2\sqrt{-x^2 + x + 6} = 4 \sqrt{-x^2 + x + 6} = 2 -x^2 + x + 6 = 4 x^2 - x - 2 = 0 D = 1 - 4(1)(-2) = 9 x_1 = (1+3)/2 = 2 x_2 = (1-3)/2 = -1$. Ответ: $-1; 2$.