N3 Дано: Δ KLM, KL = LM = 20, ∠ K = 30°. Найти KM; KH, SΔKLM, ∠ L; ∠ M.

Дано: $\Delta KLM$, $KL = LM = 20$, $\angle K = 30^\circ$. $KH$ — высота. Решение: 1. Находим углы треугольника. Так как $KL = LM$, треугольник равнобедренный с основанием $KM$. Значит, углы при основании равны: $\angle M = \angle K = 30^\circ$. Сумма углов треугольника $180^\circ$, тогда $\angle L = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$. 2. Находим сторону $KM$. Проведем высоту $KH$ к основанию $KM$. В равнобедренном треугольнике она является и медианой, и биссектрисой. В прямоугольном $\Delta KLH$ (где $\angle H = 90^\circ$): $KH = KL \cdot \sin 30^\circ = 20 \cdot 0,5 = 10$. $LH = KL \cdot \cos 30^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$. Так как $KH$ — медиана, $KM = 2 \cdot LH = 2 \cdot 10\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \approx 34,64$. 3. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot KH = \frac{1}{2} \cdot 20\sqrt{3} \cdot 10 = 100\sqrt{3} \approx 173,2$. Ответ: $\angle L = 120^\circ$, $\angle M = 30^\circ$, $KM = 20\sqrt{3}$, $KH = 10$, $S = 100\sqrt{3}$.