Решите неравенство 2x^2 - 8x + 8 / x + 5 <= 0

Для решения неравенства $\frac{2x^2 - 8x + 8}{x+5} \le 0$ выполним следующие шаги: 1. **Упростим числитель:** $2x^2 - 8x + 8 = 2(x^2 - 4x + 4) = 2(x - 2)^2$. 2. **Перепишем неравенство:** $\frac{2(x - 2)^2}{x+5} \le 0$. 3. **Найдем нули числителя и знаменателя:** - Числитель равен нулю при $x = 2$ (так как $(x-2)^2 = 0$). - Знаменатель равен нулю при $x = -5$ (на ноль делить нельзя, поэтому точка $x = -5$ всегда выколотая). 4. **Метод интервалов:** Нанесем точки на числовую ось: - Точка $x = -5$ (выколотая, так как деление на ноль недопустимо). - Точка $x = 2$ (закрашенная, так как неравенство нестрогое $\le$). Проверим знаки на интервалах: - При $x > 2$ (например, $x = 3$): $\frac{+}{+} > 0$. - При $-5 < x < 2$ (например, $x = 0$): $\frac{+}{+} > 0$ (стоп! внимательно: в точке $x=2$ знак не меняется, так как множитель $(x-2)^2$ четной степени). - При $x < -5$ (например, $x = -6$): $\frac{+}{-} < 0$. Разберем знак внимательнее: - Выражение $2(x - 2)^2$ всегда неотрицательно ($\ge 0$). - Чтобы вся дробь была $\le 0$, нужно, чтобы знаменатель $x+5 < 0$ (при $x \neq 2$) ИЛИ чтобы числитель был равен 0 (при $x = 2$). Получаем решения: - $x + 5 < 0 \implies x < -5$. - $x = 2$ также является решением, так как в этой точке дробь равна 0. **Ответ:** $x \in (-\infty; -5) \cup \{2\}$.