ЗАДАЧА 5. Найдите как можно больше решений уравнения x^2 + y^2 = z^2 в натуральных числах, не превосходящих 40.

Для уравнения $x^2 + y^2 = z^2$ в натуральных числах, где $x, y, z \le 40$, нужно найти пифагоровы тройки $(x, y, z)$. Упорядочим тройки по возрастанию $z$: 1. $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ (тройка: 3, 4, 5) 2. $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ (тройка: 6, 8, 10) 3. $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$ (тройка: 9, 12, 15) 4. $12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$ (тройка: 12, 16, 20) 5. $15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$ (тройка: 15, 20, 25) 6. $18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900 = 30^2$ (тройка: 18, 24, 30) 7. $21^2 + 28^2 = 441 + 784 = 1225 = 35^2$ (тройка: 21, 28, 35) 8. $24^2 + 32^2 = 576 + 1024 = 1600 = 40^2$ (тройка: 24, 32, 40) 9. $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ (тройка: 5, 12, 13) 10. $10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2$ (тройка: 10, 24, 26) 11. $15^2 + 36^2 = 225 + 1296 = 1521 = 39^2$ (тройка: 15, 36, 39) 12. $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$ (тройка: 8, 15, 17) 13. $16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1156 = 34^2$ (тройка: 16, 30, 34) 14. $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$ (тройка: 7, 24, 25) 15. $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$ (тройка: 20, 21, 29) 16. $9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 = 41^2$ (не подходит, т.к. 41 > 40) Всего найдено 15 различных решений (с учетом перестановки $x$ и $y$ как отдельных решений или без них — это классический набор троек).