1. Решите уравнения: а) $\sqrt{3x+1} = x-1$; б) $\sqrt{x-1} = 5$.

1. Решение уравнений: а) $\sqrt{3x+1} = x-1$ ОДЗ: $3x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1/3$ и $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$. Итого $x \ge 1$. Возведем обе части в квадрат: $3x+1 = (x-1)^2$ $3x+1 = x^2 - 2x + 1$ $x^2 - 5x = 0$ $x(x-5) = 0$ $x_1 = 0$ (не подходит по ОДЗ), $x_2 = 5$. Ответ: 5. б) $\sqrt{x-1} = 5$ Возведем в квадрат: $x-1 = 25$ $x = 26$. Ответ: 26. 2. Координаты точек пересечения: $x^2 - 2x = 8$ $x^2 - 2x - 8 = 0$ $(x-4)(x+2) = 0$ $x_1 = 4, x_2 = -2$. Если $x=4, y=8$. Если $x=-2, y=8$. Ответ: $(4; 8), (-2; 8)$. 3. Решение уравнения: $3^{2x^2} = 3^8$ $2x^2 = 8$ $x^2 = 4$ $x = \pm 2$. Ответ: $\pm 2$. 4. Вероятность выпадения «орла» ровно один раз при трех подбрасываниях: Всего исходов $2^3 = 8$. Благоприятные: (О, Р, Р), (Р, О, Р), (Р, Р, О) — всего 3. Вероятность $P = 3/8 = 0,375$. Ответ: 0,375. 5. Первообразные функции: а) $\int(\cos 5x + \frac{1}{\sin^2 x})dx = \frac{1}{5}\sin 5x - \ctg x + C$ б) $\int(\frac{-7}{x} + 8x^3)dx = -7\ln|x| + 2x^4 + C$ в) $\int(x-8)dx = \frac{x^2}{2} - 8x + C$ г) $\int(e^{3x}+1)dx = \frac{1}{3}e^{3x} + x + C$ 6. Значение выражения: $\sin 55^\circ \cos 35^\circ + \cos 55^\circ \sin 35^\circ = \sin(55^\circ + 35^\circ) = \sin 90^\circ = 1$. Ответ: 1. 7. Изменение площади шара: $S = 4\pi R^2$. Если радиус увеличился в 4 раза ($R_{new} = 4R$), то $S_{new} = 4\pi (4R)^2 = 4\pi \cdot 16R^2 = 16(4\pi R^2) = 16S$. Ответ: увеличится в 16 раз. 8. Радиус основания конуса: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$ $225\pi = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot 3$ $225\pi = \pi R^2$ $R^2 = 225$ $R = 15$ см. Ответ: 15 см.