1. Найдите значение выражения: 8^2/3 + (-sqrt(27))^-1/3 + (cbrt(9))^3/2

Привет! Давай разберем твой экзаменационный билет № 7. Вот решения всех заданий: 1. Найдите значение выражения: $8^{\frac{2}{3}} + (-\sqrt{27})^{-\frac{1}{3}} + (\sqrt[3]{9})^{\frac{3}{2}}$ $8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4$ $(-\sqrt{27})^{-\frac{1}{3}}$ — здесь выражение не определено в действительных числах, так как основание отрицательное, а показатель степени не является целым числом. Возможно, в условии опечатка, и имелось в виду $(\sqrt{27})^{\frac{1}{3}} = (3^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$. $(\sqrt[3]{9})^{\frac{3}{2}} = (9^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{2}} = 9^{\frac{1}{2}} = 3$. Если первое слагаемое $4$, третье $3$, то сумма $7$ (без учета второго слагаемого). 2. Найдите значение выражения: $\frac{\log_8 343}{\log_8 49}$ По формуле перехода к новому основанию: $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$. $\log_8 343 = \log_{2^3} 7^3 = \frac{3}{3} \log_2 7 = \log_2 7$. $\log_8 49 = \log_{2^3} 7^2 = \frac{2}{3} \log_2 7$. Тогда: $\frac{\log_2 7}{\frac{2}{3} \log_2 7} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2} = 1,5$. 3. Упростите выражение: $\frac{3tg \alpha - \sin^2 \beta - \cos^2 \beta}{4ctg \alpha}$ Напоминаю, $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$. Выражение принимает вид: $\frac{3tg \alpha - 1}{4ctg \alpha} = \frac{3tg \alpha}{4ctg \alpha} - \frac{1}{4ctg \alpha} = \frac{3}{4}tg^2 \alpha - \frac{1}{4}tg \alpha$. 4. Решите уравнение: $\log_{0,1}(8x + 12) = \log_{0,1}(10x - 6)$ Приравниваем аргументы: $8x + 12 = 10x - 6$. $-2x = -18 \Rightarrow x = 9$. Проверка: $8(9)+12 = 84 > 0$, $10(9)-6 = 84 > 0$. Подходит. 5. Определите промежутки монотонности и экстремумы функции $f(x) = x^3 - x^2 - x - 8$ Найдем производную: $f'(x) = 3x^2 - 2x - 1$. Корни уравнения $3x^2 - 2x - 1 = 0$: $D = 4 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16$. $x_1 = \frac{2+4}{6} = 1$, $x_2 = \frac{2-4}{6} = -1/3$. Функция возрастает на $(-\infty; -1/3] \cup [1; +\infty)$, убывает на $[-1/3; 1]$. Экстремумы: точка максимума $x = -1/3$, точка минимума $x = 1$. 6. Диагональ куба равна $5\sqrt{3}$ см. Найдите его площадь поверхности и объём. Диагональ куба $d = a\sqrt{3}$. Значит, ребро $a = 5$ см. Площадь поверхности $S = 6a^2 = 6 \cdot 25 = 150$ см$^2$. Объём $V = a^3 = 5^3 = 125$ см$^3$. 7. Решите неравенство: $(\frac{1}{3})^{x^2-4} \geq 1$ $1 = (\frac{1}{3})^0$. Так как основание $1/3 < 1$, знак неравенства меняется: $x^2 - 4 \leq 0$. $(x-2)(x+2) \leq 0$. Решение: $x \in [-2; 2]$.