Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке: y = x^3 - 3x^2 + 2, [1; 4].

Привет! Давай разберем эти задачи по математике. ### Задание 8 Найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = x^3 - 3x^2 + 2$ на отрезке $[1; 4]$. 1. Найдем производную: $y' = 3x^2 - 6x$ 2. Приравняем ее к нулю: $3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. 3. Точка $x=0$ не принадлежит отрезку $[1; 4]$. Точка $x=2$ принадлежит отрезку. 4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: $y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ $y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$ $y(4) = 4^3 - 3 \cdot 4^2 + 2 = 64 - 48 + 2 = 18$ **Ответ:** наименьшее значение $-2$, наибольшее значение $18$. ### Задание 9 Найти угол между касательной к графику функции $f(x) = 3 - \frac{4}{x}$ в точке $x_0 = 2$ и осью $Ox$. 1. Найдем производную: $f'(x) = -4 \cdot (-x^{-2}) = \frac{4}{x^2}$ 2. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$: $f'(2) = \frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$ 3. Значение производной равно тангенсу угла наклона касательной ($\operatorname{tg} \alpha = k = f'(x_0)$): $\operatorname{tg} \alpha = 1$ $\alpha = \operatorname{arctg}(1) = 45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$ радиан). **Ответ:** $45^\circ$. ### Задание 10 Найти производную сложной показательной функции $y = e^{5x+2}$. Для нахождения производной сложной функции используем формулу $(e^u)' = e^u \cdot u'$. В нашем случае $u = 5x + 2$, тогда $u' = 5$. $y' = e^{5x+2} \cdot (5x + 2)' = e^{5x+2} \cdot 5 = 5e^{5x+2}$. **Ответ:** $5e^{5x+2}$.