7. Найти точки экстремума функции: y = x^3 - 6x^2

Привет! Давай разберем эти задачи по порядку. ### Задача 7 Найти точки экстремума функции $y = x^3 - 6x^2$. 1. Найдем производную функции: $y' = (x^3 - 6x^2)' = 3x^2 - 12x$ 2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $3x^2 - 12x = 0$ $3x(x - 4) = 0$ Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. 3. Определим характер точек. Производная $3x^2 - 12x$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, на интервале $(0, 4)$ она отрицательна, а на $(-\infty, 0)$ и $(4, +\infty)$ — положительна. - В точке $x = 0$ функция меняет знак с "+" на "-", значит, это точка максимума. - В точке $x = 4$ функция меняет знак с "-" на "+", значит, это точка минимума. **Ответ:** точка максимума $x = 0$, точка минимума $x = 4$. ### Задача 8 Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^3 - 3x^2 + 2$ на отрезке $[1; 4]$. 1. Найдем производную: $y' = 3x^2 - 6x$ 2. Приравняем к нулю: $3x(x - 2) = 0$ Критические точки: $x = 0$ (не входит в отрезок $[1; 4]$), $x = 2$ (входит). 3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: $y(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ $y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$ $y(4) = 4^3 - 3(4)^2 + 2 = 64 - 48 + 2 = 18$ **Ответ:** наименьшее значение $-2$, наибольшее значение $18$. ### Задача 9 Найти угол между касательной к графику функции $f(x) = 3 - \frac{4}{x}$ в точке $x_0 = 2$ и осью $Ox$. 1. Найдем производную: $f'(x) = (3 - 4x^{-1})' = 4x^{-2} = \frac{4}{x^2}$ 2. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$ (это угловой коэффициент касательной $k = \operatorname{tg}\alpha$): $k = f'(2) = \frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$ 3. Угол $\alpha$ между касательной и осью $Ox$ находится из уравнения $\operatorname{tg}\alpha = k = 1$. Так как $\operatorname{tg}\alpha = 1$, то $\alpha = 45^\circ$ или $\frac{\pi}{4}$ радиан. **Ответ:** $45^\circ$.