17. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Площадь трапеции DAEC равна 111. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

17. Обозначим площадь параллелограмма ABCD как $S$. Площадь треугольника $\triangle ABC$ равна $\frac{1}{2}S$. Так как $E$ — середина стороны $AB$, то площадь треугольника $\triangle AEC$ равна $\frac{1}{2}$ площади $\triangle ABC$, то есть $\frac{1}{4}S$. Площадь трапеции $DAEC$ равна $S - \text{Площадь}(\triangle EBC)$. Поскольку $\triangle EBC$ подобен $\triangle ABC$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$, его площадь составляет $\frac{1}{4}S$. Тогда площадь трапеции $DAEC = S - \frac{1}{4}S = \frac{3}{4}S$. По условию $\frac{3}{4}S = 111$, откуда $S = 111 \cdot \frac{4}{3} = 148$. Ответ: 148. 18. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Посчитаем по клеткам: горизонтальная диагональ занимает 8 клеток, вертикальная — 2 клетки. Большая диагональ равна 8. Ответ: 8. 19. Разберем утверждения: 1) Верно. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. 2) Неверно. Хорды одной окружности могут быть разной длины. 3) Неверно. Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон, а не пополам (если треугольник не равнобедренный). Ответ: 1. 20. $(2x-1)(x^2+2x+1) = 2x^2+2x$ $(2x-1)(x+1)^2 = 2x(x+1)$ Перенесем всё в левую часть: $(2x-1)(x+1)^2 - 2x(x+1) = 0$ $(x+1)((2x-1)(x+1) - 2x) = 0$ $(x+1)(2x^2 + 2x - x - 1 - 2x) = 0$ $(x+1)(2x^2 - x - 1) = 0$ Корни: $x = -1$ или $2x^2 - x - 1 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$. $x = \frac{1 \pm 3}{4}$, т.е. $x = 1$ или $x = -0.5$. Ответ: $-1; -0.5; 1$. 21. Пусть $x$ км/ч — скорость лодки в стоячей воде. Время против течения: $\frac{72}{x-3}$. Время по течению: $\frac{72}{x+3}$. Разница во времени 2 часа: $\frac{72}{x-3} - \frac{72}{x+3} = 2$ $\frac{36}{x-3} - \frac{36}{x+3} = 1$ $36(x+3) - 36(x-3) = (x-3)(x+3)$ $36x + 108 - 36x + 108 = x^2 - 9$ $216 = x^2 - 9$ $x^2 = 225$ $x = 15$ (так как скорость положительна). Ответ: 15.