2. Решить неравенства: а) (1/2)^(4x - 8) < 16^(x+1)

Привет! Давай решим задания из твоего учебника. ### 2. Решить неравенства а) $(\frac{1}{2})^{4x-8} < 16^{x+1}$ Приведем обе части к основанию 2: $(\frac{1}{2})^{4x-8} = (2^{-1})^{4x-8} = 2^{-4x+8}$ $16^{x+1} = (2^4)^{x+1} = 2^{4x+4}$ Получаем: $2^{-4x+8} < 2^{4x+4}$ Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $-4x + 8 < 4x + 4$ $8 - 4 < 4x + 4x$ $4 < 8x$ $x > 0.5$ **Ответ: $x \in (0.5; +\infty)$** б) $\log_2(5x + 2) \le 4$ Область определения: $5x + 2 > 0 \implies x > -0.4$ Запишем 4 как логарифм: $4 = \log_2(2^4) = \log_2(16)$ $\log_2(5x + 2) \le \log_2(16)$ Так как $2 > 1$, то: $5x + 2 \le 16$ $5x \le 14$ $x \le 2.8$ Учитывая ОДЗ: $-0.4 < x \le 2.8$ **Ответ: $x \in (-0.4; 2.8]$** ### 3. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы: $f(x) = 6x^2 - 2x^3 + 3$ на отрезке $[1; 3]$ 1. Найдем производную: $f'(x) = (6x^2 - 2x^3 + 3)' = 12x - 6x^2$ 2. Приравняем к нулю: $12x - 6x^2 = 0$ $6x(2 - x) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = 2$ 3. На отрезке $[1; 3]$ находится только точка $x = 2$. 4. Определим знак производной на интервалах: - На $(1; 2)$: возьмем $x=1.5$, $f'(1.5) = 12(1.5) - 6(2.25) = 18 - 13.5 = 4.5 > 0$ (функция возрастает). - На $(2; 3)$: возьмем $x=2.5$, $f'(2.5) = 12(2.5) - 6(6.25) = 30 - 37.5 = -7.5 < 0$ (функция убывает). Значит, в точке $x = 2$ — максимум. 5. Найдем значения функции на концах отрезка и в точке максимума: $f(1) = 6(1)^2 - 2(1)^3 + 3 = 6 - 2 + 3 = 7$ $f(2) = 6(2)^2 - 2(2)^3 + 3 = 24 - 16 + 3 = 11$ $f(3) = 6(3)^2 - 2(3)^3 + 3 = 54 - 54 + 3 = 3$ **Ответ:** - На отрезке $[1; 2]$ функция возрастает. - На отрезке $[2; 3]$ функция убывает. - Наибольшее значение: $11$ (в точке $x=2$). - Наименьшее значение: $3$ (в точке $x=3$).