∠MKN = 66°, ∠FNO — ?

Дано: $\triangle KMN$, $MF \perp KN$ и $KE \perp MN$ — высоты, которые пересекаются в точке $O$. $\angle MKN = 66^\circ$. 1. Рассмотрим $\triangle KMF$: он прямоугольный ($\angle MFK = 90^\circ$). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, значит: $\angle KMF = 90^\circ - \angle MKN = 90^\circ - 66^\circ = 24^\circ$. 2. Рассмотрим $\triangle FNO$ и $\triangle KEO$. Заметим, что $\angle KEO = 90^\circ$ (так как $KE$ — высота) и $\angle MFK = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle KEO$ угол $\angle EKO$ такой же, как $\angle MKE$, но нам нужно найти $\angle FNO$. Заметим, что $\triangle KEF$ и $\triangle MNF$ подобны или проще: из прямоугольного треугольника $\triangle KMF$ мы нашли угол $\angle KMF = 24^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle KEO$ угол $\angle EKO$ совпадает с углом $\angle MKE$ (если рассматривать углы треугольника $MKN$). Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle KEO$. В нем $\angle EKO$ (или $\angle MKE$) нам неизвестен напрямую, но мы знаем $\angle MKN = 66^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle KMF$. В нем $\angle KMF = 90^\circ - 66^\circ = 24^\circ$. Так как $KE \perp MN$, то в прямоугольном треугольнике $\triangle KEN$ угол $\angle ENK = 90^\circ - \angle EKN$. Углы $\angle FNO$ (или $\angle FNK$) и $\angle KMF$ равны, так как они оба дополняют угол $\angle MNK$ до $90^\circ$ в прямоугольных треугольниках $\triangle MFN$ и $\triangle KEN$ соответственно (в общей вершине $O$ вертикальные углы, но здесь удобнее через подобные треугольники). Фактически, $\angle FNO = \angle KMF = 24^\circ$. **Ответ: 24^\circ**.