Найти: 2 sin α · cos α + (sin α + cos α)^2, если sin α = 1/2, α ∈ II четверти

Для решения выражения $2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha + (\sin \alpha + \cos \alpha)^2$ воспользуемся формулами сокращенного умножения и основным тригонометрическим тождеством. 1. Раскроем скобки в квадрате: $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha + \cos^2 \alpha$ 2. Подставим это в исходное выражение: $2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha + (\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha + \cos^2 \alpha) = 4 \sin \alpha \cdot \cos \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ 3. По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $4 \sin \alpha \cdot \cos \alpha + 1$ 4. Найдем $\cos \alpha$. Так как $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ и $\alpha$ находится во II четверти (где косинус отрицателен), воспользуемся формулой $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$: $\cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ 5. Подставим значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ в полученную формулу: $4 \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1 = 4 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{4}) + 1 = -\sqrt{3} + 1$ **Ответ: 1 - \sqrt{3}**