Дисциплина «Математика» Билет №1 1. Корни натуральной степени из числа и их свойства. 2. Перпендикуляр и наклонная. 3. Дискретная случайная величина, закон её распределения. Числовые характеристики. 4. Примеры: 1) Решить уравнения

### Конспект по вопросам билета №1 **1. Корни натуральной степени** * Корень $n$-й степени из числа $a$ — это такое число $x$, что $x^n = a$. * Свойства: * $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ (для $a, b \ge 0$) * $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ (для $a \ge 0, b > 0$) * $(\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k}$ * $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$ **2. Перпендикуляр и наклонная** * Перпендикуляр — отрезок, проведенный из точки к прямой под углом $90^\circ$. Это кратчайшее расстояние от точки до прямой. * Наклонная — любой отрезок, соединяющий данную точку с прямой и не являющийся перпендикуляром. * Свойства: перпендикуляр всегда короче любой наклонной; равные наклонные имеют равные проекции. **3. Дискретная случайная величина (ДСВ)** * ДСВ принимает отдельные изолированные значения с определенными вероятностями. * Закон распределения — таблица, где сверху значения $x_i$, снизу их вероятности $p_i$, причем $\sum p_i = 1$. * Числовые характеристики: * Математическое ожидание: $M(X) = \sum x_i p_i$. * Дисперсия: $D(X) = M(X^2) - (M(X))^2$. --- ### Решение уравнений **а) $\lg x = 2$** По определению десятичного логарифма ($10^y = x$): $x = 10^2 = 100$. **Ответ: 100.** **б) $3^x = 81$** Представим 81 как степень тройки ($81 = 3^4$): $3^x = 3^4$ $x = 4$. **Ответ: 4.** **в) $\sqrt{x^2 + 19} = 10$** Возведем обе части в квадрат: $x^2 + 19 = 100$ $x^2 = 100 - 19$ $x^2 = 81$ $x_1 = 9, x_2 = -9$. Проверка: $\sqrt{9^2+19} = \sqrt{100} = 10$. Оба корня подходят. **Ответ: $\pm 9$.**