5. Исследуйте функцию и постройте её график: f(x) = 3x^2 - 2x^3

Для исследования функции $f(x) = 3x^2 - 2x^3$ проведем следующие шаги: 1. **Область определения:** Функция является многочленом, значит, определена на всей числовой прямой: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Четность/нечетность:** $f(-x) = 3(-x)^2 - 2(-x)^3 = 3x^2 + 2x^3$. Функция ни четная, ни нечетная. 3. **Пересечение с осями:** - С осью $Oy$: $f(0) = 3(0)^2 - 2(0)^3 = 0$. Точка $(0; 0)$. - С осью $Ox$: $3x^2 - 2x^3 = 0 \Rightarrow x^2(3 - 2x) = 0$. $x_1 = 0$, $x_2 = 1.5$. Точки $(0; 0)$ и $(1.5; 0)$. 4. **Производная и критические точки:** $f'(x) = 6x - 6x^2 = 6x(1 - x)$. Приравниваем к нулю: $6x(1 - x) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 1$. - На промежутках $(-\infty, 0)$ и $(1, +\infty)$ производная отрицательна ($f'(x) < 0$), функция убывает. - На промежутке $(0, 1)$ производная положительна ($f'(x) > 0$), функция возрастает. - Минимум: $x = 0$, $f(0) = 0$. Точка $(0; 0)$. - Максимум: $x = 1$, $f(1) = 3(1)^2 - 2(1)^3 = 1$. Точка $(1; 1)$. :::div .chart-container @chart-1:::