Найдите наименьшее значение функции y = x^3 - 19,5x^2 + 90x + 22 на отрезке [8, 13].

Привет! Давай разберем задания из твоего листа. Так как задач несколько, пойдем по порядку. Начнем с первых трех, так как они похожи и требуют анализа графиков производных. ### Задание 1 **Условие:** Найдите наименьшее значение функции $y = x^3 - 19,5x^2 + 90x + 22$ на отрезке $[8, 13]$. 1. Найдем производную функции: $y' = 3x^2 - 39x + 90$ 2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $3(x^2 - 13x + 30) = 0$ $x^2 - 13x + 30 = 0$ Корни уравнения по теореме Виета: $x_1 = 3$, $x_2 = 10$. 3. Проверим, какие точки лежат на отрезке $[8, 13]$: только $x = 10$. 4. Вычислим значение функции на концах отрезка и в критической точке: $y(8) = 8^3 - 19,5 \cdot 8^2 + 90 \cdot 8 + 22 = 512 - 1248 + 720 + 22 = 6$ $y(10) = 10^3 - 19,5 \cdot 10^2 + 90 \cdot 10 + 22 = 1000 - 1950 + 900 + 22 = -28$ $y(13) = 13^3 - 19,5 \cdot 13^2 + 90 \cdot 13 + 22 = 2197 - 3295,5 + 1170 + 22 = 93,5$ **Ответ:** Наименьшее значение равно $-28$. ### Задание 2 **Условие:** На рисунке изображен график $y = f'(x)$ производной функции $f(x)$, определенной на интервале $(-2; 9)$. В какой точке отрезка $[2; 6]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение? 1. Анализ: Нам нужен максимум функции. Наибольшее значение функции на отрезке достигается либо в критических точках, где производная меняет знак, либо на концах отрезка. Если производная положительна, функция возрастает, если отрицательна — убывает. 2. Смотрим график на интервале $[2; 6]$. На всем отрезке от $x=2$ до $x=6$ график функции $y = f'(x)$ лежит выше оси $Ox$ (значение положительно). 3. Раз $f'(x) > 0$ на всем отрезке $[2; 6]$, значит, функция $f(x)$ непрерывно возрастает на этом отрезке. 4. Функция возрастает, поэтому наибольшее значение будет в правой точке отрезка. **Ответ:** $6$. ### Задание 3 **Условие:** На рисунке изображен график $y = f'(x)$ производной функции $f(x)$, определенной на интервале $(-12; 5)$. Найдите количество точек экстремума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-10; 0]$. 1. Точки экстремума функции $f(x)$ — это те точки, в которых производная $f'(x)$ равна нулю и меняет свой знак (график пересекает ось $Ox$). 2. Считаем точки пересечения графика $y = f'(x)$ с осью $Ox$ на отрезке $[-10; 0]$: - Точка около $-9$ - Точка около $-7$ - Точка около $-5,5$ - Точка около $-4$ - Точка около $-2$ - Точка около $-0,5$ 3. Итого насчитываем 6 точек пересечения. **Ответ:** 6. ### Задание 4 **Условие:** Определите момент времени $t$, в который ускорение прямолинейного движения, совершаемого по закону $S = -\frac{1}{2}t^3 + 3t^2 - 5t$, равно нулю. Какова при этом скорость? 1. Скорость $v(t) = S'(t) = -\frac{3}{2}t^2 + 6t - 5$. 2. Ускорение $a(t) = v'(t) = -3t + 6$. 3. Приравняем ускорение к нулю: $-3t + 6 = 0 \Rightarrow t = 2$. 4. Найдем скорость в этот момент: $v(2) = -\frac{3}{2}(2)^2 + 6(2) - 5 = -6 + 12 - 5 = 1$. **Ответ:** $t = 2$, скорость $v = 1$. ### Задание 5 **Условие:** Найдите наибольшее значение функции $y = x^3 + 17,5x^2 + 72x - 6$ на отрезке $[-14; -7]$. 1. Найдем производную: $y' = 3x^2 + 35x + 72$. 2. $3x^2 + 35x + 72 = 0$. Дискриминант $D = 35^2 - 4 \cdot 3 \cdot 72 = 1225 - 864 = 361 = 19^2$. $x_1 = \frac{-35 + 19}{6} = -2,67$ (не входит в $[-14; -7]$) $x_2 = \frac{-35 - 19}{6} = -9$ (входит в $[-14; -7]$) 3. Сравним значения в критической точке и на концах: $y(-14) = -2744 + 3430 - 1008 - 6 = -328$ $y(-9) = -729 + 1417,5 - 648 - 6 = 34,5$ $y(-7) = -343 + 857,5 - 504 - 6 = 4,5$ 4. Наибольшее значение равно $34,5$. **Ответ:** $34,5$.