1. Найти неопределенный интеграл:

Привет! Давай разберем эти задачи по интегралам. ### Задание 1. Найти неопределенный интеграл 1) $\int (6x^2 + 8x + 3)dx = \int 6x^2 dx + \int 8x dx + \int 3 dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + 8 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = 2x^3 + 4x^2 + 3x + C$ 2) $\int \frac{2x+3}{x^4}dx = \int (2x^{-3} + 3x^{-4})dx = 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + 3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3} + C$ 3) $\int (2x + 3\cos x)dx = x^2 + 3\sin x + C$ 4) $\int \frac{\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[4]{x}}{\sqrt{x}}dx = \int (x^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}})dx = \int (x^{\frac{1}{6}} - x^{-\frac{1}{4}})dx = \frac{x^{\frac{7}{6}}}{7/6} - \frac{x^{\frac{3}{4}}}{3/4} + C = \frac{6}{7}\sqrt[6]{x^7} - \frac{4}{3}\sqrt[4]{x^3} + C$ 5) $\int \frac{x^2 - 9}{x^2 - 8} dx$ - здесь стоит быть внимательным, возможно, опечатка в условии (часто бывает $x^2-9$ или похожее). Если переписать: $\int \frac{x^2-8-1}{x^2-8}dx = \int (1 - \frac{1}{x^2-8})dx = x - \int \frac{dx}{x^2 - (\sqrt{8})^2} = x - \frac{1}{2\sqrt{8}} \ln|\frac{x-\sqrt{8}}{x+\sqrt{8}}| + C = x - \frac{1}{4\sqrt{2}} \ln|\frac{x-2\sqrt{2}}{x+2\sqrt{2}}| + C$ 6) $\int \frac{(1+2x^2)dx}{x^2(1+x^2)} = \int \frac{1+x^2+x^2}{x^2(1+x^2)}dx = \int (\frac{1}{x^2} + \frac{1}{1+x^2})dx = -\frac{1}{x} + \text{arctg } x + C$ ### Задание 2. Найти определенный интеграл 1) $\int_{-2}^{4} (8+2x-x^2)dx = [8x + x^2 - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{4} = (32 + 16 - \frac{64}{3}) - (-16 + 4 - \frac{-8}{3}) = 48 - \frac{64}{3} + 12 - \frac{8}{3} = 60 - \frac{72}{3} = 60 - 24 = 36$ 2) $\int_{1}^{5} \frac{7dx}{x} = 7[\ln|x|]_1^5 = 7(\ln 5 - \ln 1) = 7\ln 5$ 3) $\int_{1}^{2} 2x^2 dx = 2[\frac{x^3}{3}]_1^2 = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$ 4) $\int_{-3}^{1} (2x^2 + 3x - 1)dx = [\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - x]_{-3}^{1} = (\frac{2}{3} + \frac{3}{2} - 1) - (-18 + \frac{27}{2} + 3) = (\frac{4+9-6}{6}) - (-15 + 13.5) = \frac{7}{6} - (-1.5) = 1.166... + 1.5 = \frac{7}{6} + \frac{9}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$