Для приведенных на схеме 2 механических систем используя теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме, определить угловую скорость или линейную скорость тела 1 после его заданного перемещения f1=2пи рад или s1=2м.

Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы: $T_1 - T_0 = \sum A_i$. Так как система начинает движение из состояния покоя, $T_0 = 0$. Кинетическая энергия системы $T_1 = T_{\text{гр}} + T_{\text{цил}} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{I_C \omega_2^2}{2} + \frac{m_2 v_C^2}{2}$. 1. **Кинематические связи**: Цилиндр катится без проскальзывания, но с учетом коэффициента сопротивления качению $f_h$. Скорость центра масс цилиндра $v_C = \omega_2 R$. Так как веревка намотана на цилиндр (или соединена с ним), скорость груза $v_1 = v_C + v_{\text{нитки}} = v_C + \omega_2 R = 2v_C$ (если центр цилиндра движется) или $v_1 = \omega_2 R$ (если ось неподвижна). Судя по схеме, цилиндр движется. Примем $v_1 = v_C = \omega_2 R$ (нить крепится к центру или ось подвижна). $I_C = \frac{1}{2} m_2 R^2$. Тогда $T_1 = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m_2 R^2) (\frac{v_1}{R})^2 + \frac{m_2 v_1^2}{2} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_1^2}{4} + \frac{m_2 v_1^2}{2} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{3}{4} m_2 v_1^2 = v_1^2 (\frac{1}{2} m_1 + \frac{3}{4} m_2)$. Так как $m_1 = m_2 = m$, то $T_1 = v_1^2 (\frac{1}{2}m + \frac{3}{4}m) = \frac{5}{4} m v_1^2$. 2. **Работа сил**: Работа сил тяжести: $A_{G1} = m_1 g s_1$; $A_{G2} = m_2 g s_2 \sin \alpha$. Работа силы сопротивления качению: $A_{f} = -\frac{f_h}{R} N s_2 = -\frac{f_h}{R} m_2 g \cos \alpha s_2$. Подставим известные значения ($s_1 = s_2 = s$): $s = 2$ м, $R = 0.2$ м, $f_h = 0.003$ м (перевели см в м), $\alpha = 30^\circ$. $A_{\text{sum}} = m g s (1 + \sin 30^\circ) - \frac{f_h}{R} m g s \cos 30^\circ = m g s (1.5 - \frac{0.003}{0.2} \cdot 0.866) = m g s (1.5 - 0.015 \cdot 0.866) \approx m g s (1.5 - 0.013) = 1.487 m g s$. 3. **Уравнение**: $\frac{5}{4} m v_1^2 = 1.487 m g s \Rightarrow v_1^2 = \frac{4}{5} \cdot 1.487 \cdot 9.8 \cdot 2 = 1.6 \cdot 1.487 \cdot 19.6 \approx 46.6$. $v_1 = \sqrt{46.6} \approx 6.83$ м/с.