Задание 1. Найдите производную функции:

Привет! Давай разберем твои задания по порядку. **Задание 1. Найдите производную функции:** а) $f(x) = 5x^4 + x^2 - 7 \implies f'(x) = 20x^3 + 2x$ б) $f(x) = 6\cos x + 6 \implies f'(x) = -6\sin x$ в) $f(x) = (x + 5)(2x - 4) = 2x^2 + 6x - 20 \implies f'(x) = 4x + 6$ **Задание 2. Составить уравнение касательной к графику функции $f(x) = 2x^2 - x + 3$ в точке $x_0 = 1$:** 1. Найдем значение функции в точке: $f(1) = 2(1)^2 - 1 + 3 = 4$. 2. Найдем производную: $f'(x) = 4x - 1$. Тогда $f'(1) = 4(1) - 1 = 3$. 3. Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) = 4 + 3(x - 1) = 3x + 1$. **Ответ: $y = 3x + 1$** **Задание 3. Вычислите площадь фигуры:** $S = \int_{1}^{2} 2x^2 dx = [\frac{2}{3}x^3]_1^2 = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,67$. **Ответ: $4\frac{2}{3}$ кв. ед.** **Задание 4. Решите уравнения:** а) $\text{ctg } x - 1/2 = 0 \implies \text{ctg } x = 0,5$. $x = \text{arcctg } 0,5 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. б) $\log_4 \frac{x+1}{3} = \log_4 \frac{-3x+5}{2} \implies \frac{x+1}{3} = \frac{-3x+5}{2}$. $2x + 2 = -9x + 15 \implies 11x = 13 \implies x = 13/11$. Проверка: подлогарифмические выражения $> 0$. Оба подходят. в) $4^{x^2 - 4x - 2} = 64 \implies 4^{x^2 - 4x - 2} = 4^3$. $x^2 - 4x - 2 = 3 \implies x^2 - 4x - 5 = 0$. Корни по теореме Виета: $x_1 = 5, x_2 = -1$. **Задание 5. Решите неравенство:** $\frac{2x+8x^2}{2x-1} < 0 \implies \frac{2x(1+4x)}{2x-1} < 0$. Нули: $x = 0$, $x = -1/4$, $x = 1/2$. Метод интервалов: $(-\infty; -1/4) \cup (0; 1/2)$. **Задание 6. Исследование функции по графику:** - Область определения: $x \in [-3; 6]$. - Область значений: $y \in [-1; 2]$. - Нули функции: $x = -2, x = 3, x = 5$. - Промежутки возрастания: $(-0,5; 2)$ и $(4; 6)$. - Промежутки убывания: $(-3; -0,5)$ и $(2; 4)$. - Экстремумы: $x = -0,5$ (min, $y \approx -0,2$), $x = 2$ (max, $y=2$), $x = 4$ (min, $y=-1$). **Задание 7. Площадь поверхности параллелепипеда:** Пусть измерения $a, b, c$. $ab=4, bc=2, ac=3$. $(abc)^2 = 4 \cdot 2 \cdot 3 = 24 \implies abc = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$. $a = \frac{abc}{bc} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$. $b = \frac{abc}{ac} = \frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$. $c = \frac{abc}{ab} = \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}$. $S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 2(4+2+3) = 18$. **Ответ: 18 см².** **Задание 8. Радиус конуса $r=3$, образующая $l=5$. Найти высоту $h$:** По теореме Пифагора: $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$. **Ответ: 4 м.**