В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 60°. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Пусть задана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$. Обозначим: - $SO = h = 6$ см — высота пирамиды ($O$ — центр квадрата $ABCD$). - $SK = l$ — апофема (высота боковой грани), $K$ — середина стороны $BC$. - $\angle SKO = 60^\circ$ — угол между апофемой и плоскостью основания. ### Пошаговое решение: 1. **Найдем апофему $l$** В прямоугольном треугольнике $SOK$ катет $SO = 6$ см лежит против угла $30^\circ$ (так как $\angle SKO = 60^\circ$, значит $\angle OSK = 30^\circ$). По определению синуса или через соотношения в треугольнике с углами $30-60-90$: $\sin 60^\circ = \frac{SO}{SK} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{l}$ $l = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см. 2. **Найдем сторону основания $a$** В том же треугольнике $SOK$, $OK = \frac{a}{2}$ (расстояние от центра квадрата до стороны равно половине стороны). По теореме тангенса: $\tan 60^\circ = \frac{SO}{OK} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{6}{OK}$ $OK = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см. Следовательно, сторона основания $a = 2 \cdot OK = 4\sqrt{3}$ см. 3. **Найдем площадь поверхности пирамиды** Площадь полной поверхности складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$. $S_{осн} = a^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$ см$^2$. $S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle SBC} = 4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot l) = 2 \cdot a \cdot l$ $S_{бок} = 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 2 \cdot 16 \cdot 3 = 96$ см$^2$. $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 48 + 96 = 144$ см$^2$. **Ответ:** 144 см$^2$.